CM vuông góc

[shout]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm M,N thỏa mãn

$\vec{BM} = \dfrac{1}{3}\vec{BC}$

$\vec{AN} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}$

Gọi I là giao điểm của AM và CN. C/m rằng $\widehat{BIC} = 90^o$

Ai giúp e với ạ

 

[noinhobinhyen]

bài này coi chướng quá

Gọi K là giao điểm BI và AC . Theo đ/l Ceva ta có

$\dfrac{AN}{NB}.\dfrac{BM}{MC}.\dfrac{CK}{KA}=1$

$\Rightarrow \dfrac{CK}{KA} = 4$

$\Leftrightarrow 4\vec{KA}+\vec{KC}=\vec{0}$

$\Rightarrow 4\vec{BA}+\vec{BC}=5\vec{BK}$

$\vec{CN}=\vec{BN}-\vec{BC}=\dfrac{2}{3}\vec{BA}-\vec{BC}$

Đặt $\vec{BA}=\vec{x} ; \vec{BC}=\vec{y}$

$\Rightarrow 5\vec{BK}=4\vec{x}+\vec{y}$

$\vec{CN}=\dfrac{2}{3}\vec{x}-\vec{y} \Rightarrow 3\vec{CN}=2\vec{x}-3\vec{y}$


$BK \bot CN \Leftrightarrow \vec{BK}.\vec{CN}=0$

$\Leftrightarrow 5\vec{BK}.3\vec{CN}=0$

$\Leftrightarrow (4\vec{x}+\vec{y})(2\vec{x}-3\vec{y})=0 (1)$

Gọi $a$ là cạnh $\Delta ABC$

Ta có $|\vec{x}|=|\vec{y}| = a ; \vec{x}\vec{y}=\dfrac{a^2}{2}$



$(1) \Leftrightarrow 8\vec{x}^2-10\vec{x}\vec{y}-3\vec{y}^2=0$

$\Leftrightarrow 8a^2-5a^2-3a^2=0$

... Vậy có đpcm

 

[shibatakeru]

Cách lớp 9 :|
Cạnh hình vuông là a
Kẻ $CH \bot AB$
$\widehat{IAN}=\widehat{ACN}$

$AB$ là tiếp tuyến của (AIC)

$NI.NC=AN^2=\dfrac{a^2}9$

$NI.NC=NH.NB$

CIHB nội tiếp

$\widehat{CIB}=90^o$

Đây chỉ là hướng ,chứ trình bày thế này thì 0 điểm nha bạn ^^

 

[noinhobinhyen]

Cách lớp 9 :|
Cạnh hình vuông là a
Kẻ $CH \bot AB$
$\widehat{IAN}=\widehat{ACN}$

$AB$ là tiếp tuyến của (AIC)

$NI.NC=AN^2=\dfrac{a^2}9$

$NI.NC=NH.NB$

CIHB nội tiếp

$\widehat{CIB}=90^o$

Đây chỉ là hướng ,chứ trình bày thế này thì 0 điểm nha bạn ^^

sao , bạn bảo trình bày của mình sai ở đâu cho mình sửa ...........