CM thẳng hàng

[nom1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hình chữ nhật ABCD, AH vuông góc BD. trên tia đối của của tia DA lấy điểm E (DE<DA). vẽ EM vuông góc BD cắt AB tại O. vẽ AK vuông góc BE, vẽ AF vuông góc OD
CM: 3 điểm F, H và K thẳng hàng
cùng nhau tìm những lời giải khác nhau và độc đáo nào!!

 

[nhuquynhdat]

Xét $\Delta BEO$ có đường cao EA và BM cắt nhau tại D => D là trực tâm của tam giác

Kéo dài OD cắt BE tại N $\Longrightarrow ON \perp BE$

Ta có:

$EM \perp BD ; AH \perp BD \Longrightarrow EM //AH \Longrightarrow \dfrac{MD}{DH}=\dfrac{DE}{DA}$ (Ta let)

Tương tự CM: $EN //AF \Longrightarrow \dfrac{DN}{DF}=\dfrac{DE}{DA}$

$\Longrightarrow \dfrac{MD}{DH}=\dfrac{DN}{DF} \Longrightarrow MN//FH$ (Ta let đảo)(1)

Mặt khác ta có: $AK \perp BE; ON \perp BE \Longrightarrow AK//ON \Longrightarrow \dfrac{BK}{KN}=\dfrac{BA}{AO}$ (Ta let)

Lại có: $AH // ME \Longrightarrow AH//OE \Longrightarrow \dfrac{BH}{MH}=\dfrac{BA}{AO}$

$\Longrightarrow \dfrac{BH}{MH}=\dfrac{BK}{KN}(=\dfrac{BA}{AO})$

$\Longrightarrow HK//MN$ (2)

Từ (1) và (2) $\Longrightarrow$ F, H, K thẳng hàng