Toán 9 CM: [tex]sin\frac{A}{2}.sin \frac{B}{2}.sin\frac{C}{2} \le 1/8[/tex]

[You Know]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Thái Vĩnh Đạt]

View attachment 73414

1)
a)Đk: [tex]x\geq 0;x\neq 9[/tex]
b)[tex]A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{7\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}[/tex]
[tex]=\frac{2x-6\sqrt{x}+7\sqrt{x}+4-x-4\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}+2)\sqrt{x-3}}[/tex]
[tex]=\frac{x-3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}[/tex]
c)Ta có [tex]A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-2}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+2}[/tex]
Vì A nguyên nên [tex](\sqrt{x}+2)\epsilon U(2)=\left \{ \pm 1;\pm 2 \right \}[/tex]
Mà [tex]\sqrt{x}+2\geq 2[/tex] nên [tex]\sqrt{x}+2=2[/tex] hay x=0

 

[hdiemht]

View attachment 73414

Bài $5$:
Ta có:
$A$=[tex]sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}[cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{A+B}{2})].sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}[cos(\frac{A-B}{2})-sin(\frac{C}{2})].sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}.cos.\frac{A-B}{2}.sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2}.sin^2\frac{C}{2}-\frac{1}{8}.cos^2.\frac{A-B}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}.cos^2.\frac{A-B}{2}+\frac{1}{8}[/tex]
A=[tex]\frac{-1}{2}(sin^2\frac{C}{2}-cos\frac{A-B}{2}.sin\frac{C}{2}+\frac{1}{4}cos^2.\frac{A-B}{2})-\frac{1}{8}(1-cos^2.\frac{A-B}{2})+\frac{1}{8}=\frac{-1}{2}(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2}cos.\frac{A-B}{2})^2-\frac{1}{8}(sin^2\frac{A-B}{2})+\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8}[/tex]
Vậy $......$

 

[Thái Vĩnh Đạt]

View attachment 73414

5)
Vẽ đường p/g trong AD. Kẻ BN, CM vuông góc với AD([tex]M,N\epsilon AD[/tex])
Đặt AB=c, BC=a, AC=b
Xét tam giác vuông BAN: [tex]BN=AB.sin\widehat{BAN}=c.sin\frac{\widehat{A}}{2}[/tex]
Xét tam giác vuông CAM: [tex]MC=AC.sin\widehat{CAM}=b.sin\frac{\widehat{A}}{2}[/tex]
Suy ra [tex]a=BC=BD+DC\geq MC+BN=(b+c)sin\frac{\widehat{A}}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow sin\frac{\widehat{A}}{2}\leq \frac{a}{b+c}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}[/tex]
Tương tự [tex]sin\frac{\widehat{B}}{2}\leq \frac{b}{2\sqrt{ac}};sin\frac{\widehat{C}}{2 }\leq\frac{c}{2\sqrt{ab}}[/tex]
Vậy [tex]sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}[/tex].Dấu "=" xảy ra <=> tam giác ABC đều

 

[Thái Vĩnh Đạt]

View attachment 73414

3)
a) [tex]6x^{4}-5x^{3}-38x^{2}-5x +6=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (6x^{4}+6)-(5x^{3}+5x)-38x^{2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 6(x^{4}+2x^{2}+1)-5x(x^{2}+1)-50x^{2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 6(x^{2}+1)^{2}-5x(x^{2}+1)-50x^{2}=0[/tex]
Đặt [tex]x^{2}+1=a[/tex], pt trở thành: [tex]6a^{2}-5ax-50x^{2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2a+5x)(3a-10x)=0[/tex]
=> 2a+5x=0 hay 3a-10x= 0
[tex] 2x^{2}+5x+2=0 hay 3x^{2}-10x+3=0[/tex]
Giải 2 pt rồi tìm nghiệm
b)Nx: Với x,y>0, ta có [tex]x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)[/tex]
Dấu = xảy ra <=>x=y(tự c/m)
Áp dụng ta có [tex]VT\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}+\frac{1}{bc(b+c)+abc}+\frac{1}{ac(a+c)+abc}[/tex]
[tex]=\frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ca(a+b+c)}[/tex]
[tex]=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}[/tex]
Dấu = xảy ra <=> a=b=c
c)xét 2018 số1,11,111,...,111...1(2018 số 1)
Trong phép chia cho 2017 ta có thể nhận được 2017 số dư nên theo nguyên lí dirichlet,có ít nhất 2 số trong 2018 số trên có cùng số dư khi chia cho 2017.Gọi 2 số đó là 11...11(a số 1) và 11...1(a+b số1)
=>111...1(a+b số 1)-11...1(a số 1) chia hết cho 2017
=>11...100...0 chia hết cho 2017(b số 1)(a số 0)
=>[tex]11...1.10^{a}[/tex] (b số 1)chia hết cho 2017
mà ([tex]10^{a}[/tex] ,2017)=1=>11...1(b số 1) chia hết cho 2017 (ĐPCM)