Toán 9 CM: [tex]MA\perp MN[/tex]

[Hương Phạm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[hdiemht]

View attachment 67956

Bài 1:

____________________________________________________
a) Ta có: [tex]OM=\frac{1}{2}OB\Rightarrow OM=\frac{1}{2}OA[/tex]
Ta lại có: [tex]DN=\frac{1}{2}CD\Rightarrow DN=\frac{1}{2}AD[/tex]
Xét: [tex]\Delta AOM;\Delta ADN:[/tex]
[tex]\widehat{AOM}=\widehat{ADN}=90^{\circ};\frac{OM}{OA}=\frac{DN}{DA}(=\frac{1}{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta AOM \sim \Delta ADN(c.g.c)[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{DAN}\Rightarrow \widehat{OAM}+\widehat{ONA}=\widehat{DAN}+\widehat{ONA}=45^{\circ}[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{MAN}=45^{\circ}[/tex]
Mặt khác: [tex]\widehat{MDN}=45^{\circ}\Rightarrow DAMNnt[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ADN}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{AMN}=90^{\circ}\Rightarrow AM\perp MN[/tex]
b) Gọi $E$ là trung điểm của $BC$
Dễ dàng chứng minh được: [tex]\Delta ADN=\Delta DEC(c.g.c)\Rightarrow AN=DE[/tex]
Xét [tex]\Delta BOC[/tex] có:
[tex]ME[/tex] là đường trung bình
[tex]\Rightarrow ME\parallel OC\Rightarrow ME\perp BD\Rightarrow \widehat{DME}=90^{\circ}\Rightarrow \Delta DME[/tex] vuông tại $M$
[tex]\Rightarrow DE>DM\Rightarrow AN>DM[/tex]
____________________________
Bài 2:

_________________________________________________________________________
a) [tex]\Delta MAC\sim \Delta MDB(g.g)\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow MA.MB=MD.MC[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MA(MA+AB)=MC(MC+CD)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MA^2+MA.AB=MC^2=MC.MD[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MA^2+MA.AB=MC^2+MC.AB(viAB=CD)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MA^2-MC^2-MC.AB+MA.AB=0\Leftrightarrow (MA-MC)(MA+MC+AB)=0\Rightarrow MA=MC(viMA+MC+AB>0)[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta MAO=\Delta MCO(MA=MC;OA=OC;[/tex] OM: chung)
[tex]\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{CMO}[/tex]
b) Ta có: $MA=MC$
[tex]\Rightarrow \Delta MAC[/tex] cân
[tex]\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{MBD}=\widehat{MDB}[/tex]
[tex]\Rightarrow AC\parallel BD[/tex]
Mà: [tex]\widehat{ABD}=\widehat{ADB}[/tex] ($cmt$)
[tex]\Rightarrow ABCD[/tex] là hình thang cân