Toán 9 CM: [tex]\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=abc[/tex]

[kangdaniel2005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử $a,b,c$ khác $0$ và $a+b+c=1/a+1/b+1/c=0$. Chứng minh rằng
[tex]\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=abc[/tex]

 

[hdiemht]

giả sử a,b,c khác 0 và a+b+c=1/a+1/b+1/c=0 chứng minh rằng (a^6+b^6+c^6)/(a^3+b^3+c^3)=abc

Ta có: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0[/tex]
Ta có: [tex]a^3+b^3+c^3=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)=(-c)^3+c^3+3abc=3abc[/tex] (1)
[tex]a^6+b^6+c^6=(a^3+b^3+c^3)^2-2(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)[/tex] (2)
Đặt: [tex]ab=x;bc=y;ac=z[/tex] [tex]\Rightarrow x+y+z=0[/tex]
Tương tự: [tex]\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=3a^2b^2c^2[/tex] (3)
Thay [tex](1);(3)[/tex] vào [tex](2)[/tex] ta được: [tex]a^6+b^6+c^6=9a^2b^2c^2-6a^2b^2c^2=3a^2b^2c^2[/tex]
Khi đó: [tex]\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=\frac{3a^2b^2c^2}{3abc}=abc[/tex]