- Cho a , b thuộc [ 0 ; 1 ] . CMR : a^2 + b^2 + c^2 =< 1 + a^2b + b^2c + c^2a
Phải là $a;b;c$ thuộc $[0;1]$ chứ nhỉ?
___________
[tex]a;b;c\in \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow 0\leq a;b;c\leq 1\Rightarrow a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)\leq a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-a^2b-bc^2-ac^2\leq a+b+c-ab-bc-ac[/tex]
Bây giờ chỉ cần chứng minh được: [tex]a+b+c-ab-bc-ac\leq 1[/tex]. Thật vậy
Ta có: [tex]abc+(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\Leftrightarrow abc+1-a-b-c+ab+bc+ac-abc\geq 0\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac\leq 1[/tex]
Vậy thay vào ta được: [tex]a^2+b^2+c^2-a^2b-bc^2-ac^2\leq a+b+c-ab-bc-ac\leq 1[/tex]
Suy ra: [tex]a^2 + b^2 + c^2 \leq 1 + a^2b + b^2c + c^2a[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
