Toán 10 CM: [tex]a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/tex] ....

[bat dangthuc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c [tex]\in \mathbb{R}[/tex]. CMR :
a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +1 \geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
b) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +3 \geq 2(a+1)(b+1)(c+1)[/tex]
giúp mình nha mọi người !

 

[hdiemht]

Cho a,b,c [tex]\in \mathbb{R}[/tex]. CMR :
a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +1 \geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
b) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +3 \geq 2(a+1)(b+1)(c+1)[/tex]
giúp mình nha mọi người !

Bạn kiểm tra 2 đề lại dùm mình nhé!!
a) Thay [tex]a=b=c=-1[/tex] thoả mãn [tex]a;b;c\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +1=(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+2(-1)(-1)(-1)+1=3-2+1=2[/tex]
[tex]2(ab+bc+ca)=2[(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-1)]=6[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +1\leq 2(ab+bc+ac)\Rightarrow False[/tex]
b) Thay [tex]a=b=c=1[/tex] vào thấy $BĐT$ sai!!
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +3=8[/tex]
[tex]2(a+1)(b+1)(c+1)=16[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc +3\leq 2(a+1)(b+1)(c+1)[/tex] [tex]\Rightarrow False[/tex]

 

[nguyenthiha123456]

a) Nhận thấy trong 3 số a,b,c sẽ có hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là a và b. Khi đó:
[tex](a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Mặt khác, xét hiệu:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1-2ab-2bc-2ca =(a^{2}-2ab+b^{2})+(c^{2}-2c+1)+2c(ab-a-b+1) =(a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Suy ra :[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Vậy ta có đpcm

 

[hdiemht]

a) Nhận thấy trong 3 số a,b,c sẽ có hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là a và b. Khi đó:
[tex](a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Mặt khác, xét hiệu:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1-2ab-2bc-2ca =(a^{2}-2ab+b^{2})+(c^{2}-2c+1)+2c(ab-a-b+1) =(a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Suy ra :[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Vậy ta có đpcm

Thật sự không đúng bởi vì t đã nói ở trên là thuộc [tex]\mathbb{R}[/tex] không đúng, t nghĩ nó đúng khi [tex]a;b;c>0[/tex] !!
Và có ví dụ minh hoạ ở trên!

 

[nguyenthiha123456]

Thật sự không đúng bởi vì t đã nói ở trên là thuộc [tex]\mathbb{R}[/tex] không đúng, t nghĩ nó đúng khi [tex]a;b;c>0[/tex] !!
Và có ví dụ minh hoạ ở trên!

uk

 

[bat dangthuc]

vậy chắc là a,c,b >0 đấy

 

[bat dangthuc]

a) Nhận thấy trong 3 số a,b,c sẽ có hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là a và b. Khi đó:
[tex](a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Mặt khác, xét hiệu:
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1-2ab-2bc-2ca =(a^{2}-2ab+b^{2})+(c^{2}-2c+1)+2c(ab-a-b+1) =(a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1)\geq 0[/tex]
Suy ra :[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Vậy ta có đpcm

tại sao nhận thấy trong ba số có hai số cùng lớn hơn bằng 1 vậy bạn

 

[nguyenthiha123456]

tại sao nhận thấy trong ba số có hai số cùng lớn hơn bằng 1 vậy bạn

theo nguyên lí đirichle đó bạn
bạn thử lấy ví dụ thì sẽ rõ
à mà chính xác là có ít nhất 2 số lớn hơn hoặc bằng 1

 

[nguyenthiha123456]

vậy chắc là a,c,b >0 đấy

a,b,c>=0.
=0 vẫn được bạn ơi

 

[bat dangthuc]

theo nguyên lí đirichle đó bạn
bạn thử lấy ví dụ thì sẽ rõ

bạn ví dụ thử đi ?? Mình chưa tìm hiểu về đirichle

 

[nguyenthiha123456]

bạn ví dụ thử đi ?? Mình chưa tìm hiểu về đirichle

bạn ơi trên bài giải mình ghi bị thiếu rồi:
chính xác là trong 3 số có ít nhất hai số cùng lớn hơn bằng 1 hoặc cùng nhỏ hơn bàng 1.
vd nhé: cho 3 số này: 1/2 2 và 4 thì có 2 và 4 lớn hơn bằng 1
cho 3 số 2 3 4 thì cả 3 đều lớn hơn 1
cho 3 số 1/5 1/2 3 thì có hai số bé hơn bằng 1

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Bài 2 tương tự