Sau khi thử với n = 0, 1, 2, ta thấy biểu thức đó luôn chia hết cho 3. Vậy ta sẽ chứng minh theo hướng chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Gọi A là biểu thức đề cho.
Ta có [tex]26\equiv 2 (mod[/tex] 3)
[tex]13^{n}=(12+1)^{n}= B(12)+1^{n}\equiv 1 (mod[/tex] 3) (B(12) là bội của 12 nha bạn)
[tex]7^{n}=(6+1)^{n}=B(6)+1\equiv 1 (mod[/tex] 3)
Suy ra [tex]A\equiv 1.2+1.5+2\equiv 0 (mod[/tex] 3)
Giờ ta sẽ chứng minh nó không chia hết cho 9. Do [tex]26\equiv 8 (mod[/tex] 9) Nên ta chứng minh tổng còn lại không bao giờ đồng dư 1 modulo 9
Để ý một chút, ta sẽ thấy được những tính chất thú vị sau
1) Với n=3k, ta có [tex]13^{n}=13^{3k}=(13^{3})^{k}=(2197)^{k}=(244.9+1)^{k}\equiv 1 (mod[/tex] 9 )
[tex]7^{3k}=(7^{3})^{k}=(343)^{k}=(38.9+1)^{k}\equiv 1 (mod[/tex] 9)
Vậy với n=3k, ta có[tex]A\equiv 1.2+1.5+8\equiv 6 (mod[/tex] 9)
2)Với n = 3k+1, ta có [tex]13^{3k+1}=13.13^{3k}[/tex] nên sẽ đồng dư 4 modulo 9
hoàn toàn tương tự , ta cũng có 7 mũ 3k+1 đồng dư 7 modulo 9
Vậy với n=3k+1, A đồng dư 6 modulo 9
3) n=3k+2 . Tương tự luôn nhé.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
