Toán 9 Cm rằng trong $3$ số $a,b,c$ phải có 1 số bằng bình phương của số còn lại.

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số hữu tỷ a,b,c thỏa mãn:
$abc=1$ và [tex]\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}[/tex]
Cm rằng trong $3$ số $a,b,c$ phải có 1 số bằng bình phương của số còn lại.
Các bạn giúp đỡ mình nha!!! Xin cảm ơn!!

 

[hdiemht]

Cho 3 số hữu tỷ a,b,c thỏa mãn:
abc=1 và [tex]\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}[/tex]
Cm rằng trong 3 số a,b,c phải có 1 số bằng bình phương của số còn lại.
Các bạn giúp đỡ mình nha!!! Xin cảm ơn!!

Đặt: [tex]\frac{b^{2}}{a}=x;\frac{c^{2}}{b}=y;\frac{a^{2}}{c}=z\Rightarrow xyz=\frac{a^2b^2c^2}{abc}=1[/tex]
Khi đó ta có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z\Leftrightarrow x+y+z=xz+yz+xz\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-xz=0[/tex]
[tex]xyz+x+y+z-xy-yz-xz-1=0\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ y=1 & & \\ z=1 & & \end{bmatrix}[/tex]
Vì vai trò ngang nhau nên thay $x=1$ ta được: [tex]\frac{b^2}{a}=1\Rightarrow a=b^2[/tex]($dpcm$)