Toán 8 CM:$n^4+6n^3+11n^2+30n-24$ chia hết cho $24$ với mọi $n$ thuộc $Z$

[nguyen van ut]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
$n^4+6n^3+11n^2+30n-24$ chia hết cho $24$ với mọi $n$ thuộc $Z$

$n^3-3n^2-n+3$ chia hết cho $48$ với mọi $n$ nguyên lẻ

 

[hdiemht]

n^4+6n^3+11n^2+30n-24 chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z

[tex]n^4+6n^3+11n^2+30n-24=n^4+6n^3+11n^2+6n+24n-24=n(n+1)(n+2)(n+3)+24(n-1)[/tex]
Ta có: [tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex] là tích của $4$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $4$
Mặt khác: [tex]n(n+1)(n+2)[/tex] chia hết cho $6$. Hay: [tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex] chia hết cho $6$
Từ đó suy ra: [tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex] chia hết cho $24$. Mà $24(n-1)$ chia hết cho $24$
$=>.....$

n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48 với mọi n nguyên lẻ

[tex]n^3-3n^2-n+3=(n-1)(n+1)(n-3)[/tex]
Vì $n$ lẽ nên: [tex](n-1)(n+1)(n-3)[/tex] chia hết cho $16$
Mà: [tex]n^3-3n^2-n+3=n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)[/tex] chia hết cho $3$
Từ đó suy ra $dpcm$