Toán 9 CM: $ MA^2+MB^2+MC^2$ không đổi ....

[Dương Quốc Khánh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 đường tròn đồng tâm O bán kính $R$ và $r$ $( R>r)$ .Gọi $M,A$ là 2 điểm trên đường tròn $(O;r)$ với $M$ cố định và $A$ chuyển động. Qua $M$ vẽ dây $BC$ của $(O;R)$ vuông góc $AM$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $BC.CM$.
a) $AM=2.OH$
b) $MA^2+MB^2+MC^2$ ko đổi
c)Trọng tâm tam giác $ABC$ cố định
Mọi người giúp em với ạ tks.

 

[hdiemht]

Cho 2 đường tròn đồng tâm O bán kính R và r ( R>r).Gọi M,A là 2 điểm trên đường tròn (O;r) với M cố định và A chuyển động.Qua M vẽ dây BC của (O;R) vuông góc AM.Gọi H là hình chiếu của O trên BC.CM
a) AM=2.OH
b) MA^2+MB^2+MC^2 ko đổi
c)Trọng tâm tam giác ABC cố định
Mọi người giúp em với ạ tks.

_________________________________________________
[tex]CB\cap (O;r)=K[/tex]
a) Ta có: [tex]\widehat{KMA}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{KMA}[/tex] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
[tex]\Rightarrow A;O;K[/tex] thẳng hàng
[tex]\left\{\begin{matrix} KH=HM & & \\ KO=OA & & \end{matrix}\right.\Rightarrow OH[/tex] là đường trung bình của tam giác [tex]\Delta AKM\Rightarrow 2OH=AM[/tex]
b) [tex]MA^2+MB^2+MC^2=(2OH)^2+(MH+HB)^2+(HC-HM)^2=4OH^2+MH^2+2MH.HB+HB^2+HC^2-2HC.HM+HM^2=(OH^2+MH^2)+(OH^2+HB^2)+(OH^2+HC^2)+(OH^2+HM^2)=OM^2+OB^2+OC^2+OM^2=r^2+R^2+R^2+r^2=2(r^2+R^2)\Rightarrow[/tex] không đổi
c) Gọi trọng tâm của tam giác [tex]ABC[/tex] là $G$
Mà: [tex]AH[/tex] là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ (Tính chất bán kính và dây) [tex]\Rightarrow A;G;H[/tex] thẳng
Xét [tex]\Delta AMK:[/tex]
[tex]AH;MO[/tex] lần lượt là các đường trung tuyến nên chúng cắt nhau tại $G$
[tex]\Rightarrow \frac{OG}{MO}=\frac{1}{3}[/tex]
Mà $MO$ không đổi ($=r$)
Nên: $OG$ không đổi, Mà O không đổi nên $G$ không đổi
Vậy trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ không đổi!

 

[Dương Quốc Khánh]

View attachment 67461
_________________________________________________
[tex]CB\cap (O;r)=K[/tex]
a) Ta có: [tex]\widehat{KMA}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{KMA}[/tex] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
[tex]\Rightarrow A;O;K[/tex] thẳng hàng
[tex]\left\{\begin{matrix} KH=HM & & \\ KO=OA & & \end{matrix}\right.\Rightarrow OH[/tex] là đường trung bình của tam giác [tex]\Delta AKM\Rightarrow 2OH=AM[/tex]
b) [tex]MA^2+MB^2+MC^2=(2OH)^2+(MH+HB)^2+(HC-HM)^2=4OH^2+MH^2+2MH.HB+HB^2+HC^2-2HC.HM+HM^2=(OH^2+MH^2)+(OH^2+HB^2)+(OH^2+HC^2)+(OH^2+HM^2)=OM^2+OB^2+OC^2+OM^2=r^2+R^2+R^2+r^2=2(r^2+R^2)\Rightarrow[/tex] không đổi
c) Gọi trọng tâm của tam giác [tex]ABC[/tex] là $G$
Mà: [tex]AH[/tex] là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ (Tính chất bán kính và dây) [tex]\Rightarrow A;G;H[/tex] thẳng
Xét [tex]\Delta AMK:[/tex]
[tex]AH;MO[/tex] lần lượt là các đường trung tuyến nên chúng cắt nhau tại $G$
[tex]\Rightarrow \frac{OG}{MO}=\frac{1}{3}[/tex]
Mà $MO$ không đổi ($=r$)
Nên: $OG$ không đổi, Mà O không đổi nên $G$ không đổi
Vậy trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ không đổi!

tks bạn