CM $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}+\frac{1}{b(b+c) }\ge\frac{27}{2(a+b+c)^2}$

[chip_chip0147]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}+\frac{1}{b(b+c)}\ge\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
với a ,b ,c là các số dương........................................................................

 

[hoang_duythanh]

Có :$\frac{1^2}{a(a+b)}+\frac{1^2}{b(b+c)}+\frac{1^2}{c(c+a)}$\geq$\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$
Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$\leq$\frac{2}{3}(a+b+c)^2$ (cái này nhân tung ra biến đổi tương đương là ra dễ dàng)
mà a,b,c>0
=>$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$\geq$\frac{27}{2(a+b+c)^2}$(điều phải chứng minh)

 

[huytrandinh]

hoang-duythanh: kiểm ta lại lời giải nhé
Bài này còn một cách như sau
BĐT tương đương với
$(\sum a(a+b))(\sum \dfrac{1}{a(a+b)})\geq 9$
$.x=a(a+b),y=b(b+c),z=c(c+a)$
$=>(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\geq 9$
Cauchy giải quyết dễ dàng

 

[1um1nhemtho1]

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}+\frac{1}{b(b+c)}\ge\frac{27}{2(a+b+c)^2}$

Bài này áp dụng trực tiếp Cauchy:


$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}+\frac{1}{b(b+c)} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$

theo Cauchy cũng có:

$\frac{(a+b+c)^3}{27} \ge abc$

tuơng tự $(a+b)(b+c)(c+a) \le \frac{(2a+2b+2c)^3}{27}$

\Rightarrow $abc(a+b)(b+c)(c+a) \le \frac{2^3(a+b+c)^6}{3^6}=[\frac{2(a+b+c)^2}{9}]^3$

\Rightarrow $3\sqrt[3]{\frac{1}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}$

\Rightarrow ĐPCM

 

[1um1nhemtho1]

Có :$\frac{1^2}{a(a+b)}+\frac{1^2}{b(b+c)}+\frac{1^2}{c(c+a)}$\geq$\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$
Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$\leq$\frac{2}{3}(a+b+c)^2$ (cái này nhân tung ra biến đổi tương đương là ra dễ dàng)
mà a,b,c>0
=>$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$\geq$\frac{27}{2(a+b+c)^2}$(điều phải chứng minh)

*$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$\leq$\frac{2}{3}(a+b+c)^2$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2 \le ab+bc+ac$
Cái bất đẳng thức trên ngược chiều bạn nhé )

hoang-duythanh: kiểm ta lại lời giải nhé
Bài này còn một cách như sau
BĐT tương đương với
$(\sum a(a+b))(\sum \dfrac{1}{a(a+b)})\ge 9$
$.x=a(a+b),y=b(b+c),z=c(c+a)$
$=>(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\ge 9$
Cauchy giải quyết dễ dàng

*$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$\geq$\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
\Leftrightarrow $(\frac{2}{3}(\sum a)^2)(\sum \frac{1}{a(a+b)}) \ge 9$

mà ta lại có:

$\frac{2}{3}(\sum a)^2 \ge \sum a(a+b)$
tức là $(\frac{2}{3}(\sum a)^2)(\sum \frac{1}{a(a+b)}) \ge (\sum a(a+b))(\sum \frac{1}{a(a+b)})$


Nên suy ra bất đẳng thức ấy không thể tương đương với $(\sum a(a+b))(\sum \frac{1}{a(a+b)}) \ge 9$

 

[conga222222]

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{c(c+a)}+\frac{1}{b(b+c)}\ge\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
với a ,b ,c là các số dương........................................................................

thêm một cách chứng minh:
$\eqalign{
& chuan\;hoa\;a + b + c = 3 \cr
& (cach\;chuan\;hoa\;cho\;ban\;nao\;chua\;biet: \cr
& dat\;x = {{3a} \over {a + b + c}};y = {{3b} \over {a + b + c}};z = {{3c} \over {a + b + c}} \to x + y + z = 3 \cr
& rut\;a,\;b,\;c\;thay\;vao\;bdt\;dau\;thi\;se\;dc\;1\;bdt\;dung\;nhu\;bdt\;ban\;dau) \cr
& \to can\;chung\;minh \cr
& {1 \over {a\left( {a + b} \right)}} + {1 \over {c\left( {c + a} \right)}} + {1 \over {b\left( {b + a} \right)}} \ge {3 \over 2} \cr
& cai\;nay\;thi\;don\;gian\;qua\;roi \cr
& \cos i: \cr
& {1 \over {a\left( {a + b} \right)}} + {a \over 2} + {{a + b} \over 4} \ge {3 \over 2} \cr
& {1 \over {c\left( {c + a} \right)}} + {c \over 2} + {{c + a} \over 4} \ge {3 \over 2} \cr
& {1 \over {b\left( {b + c} \right)}} + {b \over 2} + {{b + c} \over 4} \ge {3 \over 2} \cr
& \to {1 \over {a\left( {a + b} \right)}} + {1 \over {c\left( {c + a} \right)}} + {1 \over {b\left( {b + a} \right)}} \ge {9 \over 2} - a - b - c = {3 \over 2} \cr} $

 

[huytrandinh]

Oh,xin lỗi nhé. Không coi kĩ đề. Bài này ta làm như sau
Bất đẳng thức tương đương với
$\sum \dfrac{(a+b)^{2}+(c^{2}+bc+ac)+c(a+b)}{a(a+b)}$
$=\sum \dfrac{a+b}{a}+\sum \dfrac{c}{a}+\sum \dfrac{c(a+b+c)}{a(a+b)}$
$.\sum \dfrac{a+b}{a}\geq 6 (Cauchy)$
$.\sum \dfrac{c}{a}\geq 3 (Cauchy)$
$.\sum \dfrac{c(a+b+c)}{a(a+b)}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)^{3}}{(a+b)(a+c)(b+c)}}\geq \dfrac{9}{2}$
$=>(a+b+c)^{2}(\sum \dfrac{1}{a(a+b)})\geq \dfrac{27}{2}$