cm dồng quy

[chip_chip0147]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài tập này thầy mình cho làm trên lớp nhưng thầy bảo cách làm của mình sai nên post lên đây xin mọi người chỉ giáo ...........
cho tam giác ABC ở phía ngoài tam giác đó dựng các tam giác đều BCA1 ACB1 ABC1 (1 là chỉ số nhỏ dưới chân)
cm AA1 ,BB1,CC1 đồng quy
thanks trước nha?

 

[lanhnevergivesup]

Đội 2 :
Baif này bạn tự vẽ hình nhá , vì bài này không cần vẽ đường phụ

Gọi BB1, CC1 giao nhau tại O
Vì tam giác AC1C=tam giác ABB1 (c.g.c)
[TEX] \Rightarrow \widehat{AC_1C}=\widehat{ABB_1}[/TEX]
=> Tứ giác AC1BO là tứ giác nội tiếp
[TEX]\Rightarrow \widehat{BC_1O}=\widehat{BAO} (1)[/TEX]
Tam giác C1BC=tam giác ABA1(c.g.c)
[TEX] \Rightarrow \widehat{BC_1O}=\widehat{BAA_1} (2) [/TEX]
Từ (1)và (2) [TEX] \widehat{BAO}=\widehat{BAA_1} [/TEX]
Mà O ,A1 cùng thuộc một nửa mp bờ AB => A,O ,A1 thẳng hàng
=> AA1, BB1,CC1 đồng quy tại O (ĐpCM)

 

[letsmile519]

Bài làm đội 4:

Gọi giao điểm của $BB_1$ và $CC_1$ là I

Xét $\Delta ACA_1$VÀ $\Delta BCB_1$

Có : $\angle ACA_1=\angle ACB+60^0=\angle BCB_1$
$BC=CA_1$ và $AC=CB_1$

\Rightarrow $\Delta ACA_1=\Delta B_1CB$

\Rightarrow $\angle AA_1C=\angle B_1BC$ (Cùng nhìn cạnh IC)
-> $BICA_1$ nôi tiếp

Tương tự $AICB_1$ nội tiếp

Kéo dài IC cắt tia $AC_1$ tại C'

Ta có: $\angle C'IB=\angle CIB_1=\angle CAB_1=60^0=\angle C'AB$

-> $AIBC' $ nội tiếp -> ta cm đc góc CBA= 60 độ -> tam giác C'AB là tam giác đều -> C' trùng $C_1$

-> 3 đg đồng quy

 

[phuong_july]

Đội 2-Cách 2 (dài hơn)

Gọi AA1 cắt BC tại D, BB1 cắt AC tại E. CC1 cắt AB tại F.
Ta thấy:
$\frac{DB}{DC}=\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}$ (1)
Và $\frac{DB}{DC}=\frac{S_{BDA1}}{S_{CDA1}}$ (2)
Từ (1), (2) \Rightarrow $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{S_{BDA1}}{S_{CDA1}}$ $=\frac{S_{ABD}+S_{BDA1}}{S_{ADC}+S_{CDA1}}$ $=\frac{S_{ABA1}}{S_{ACA1}}$
Tương tự có: $\frac{EA}{EC}=\frac{S_{ABB1}}{S_{CBB1}}$
$\frac{FA}{FB}=\frac{S_{ACC1}}{S_{BCC1}}$
mặt khác dễ chứng minh được:
$ \left\{\begin{matrix}
\bigtriangleup ABA_1=\bigtriangleup BCC_1(c.g.c)\rightarrow S_{ABA_1}=S_{BCC_1} & & \\
\bigtriangleup ACA_1=\bigtriangleup CBB_1(c.g.c)\rightarrow S_{ACA_1}=S_{CBB_1} & & \\
\bigtriangleup ACC_1=\bigtriangleup ABB_1(c.g.c) \rightarrow S_{ACC_1}=S_{ABB_1} & &
\end{matrix}\right.$
Từ đó ta có: $frac{DB}{DC}.\frac{EA}{EC}.\frac{FA}{FB}=1$
Áp dụng định lí Ceva vào tam giác ABC ta được: CF,BE,AD đồng quy hay AA1,BB1,CC1 đồng quy.