Toán 8 - CM chia hết

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR n^3+2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

 

[ankhongu]

Đây là lần đầu tiên mình trả lời nên có khó nhìn hay sai thì xin lỗi nhé

Đặt A = [tex]n^{3} + 2012n[/tex]

Ta có :
Do n chẵn (GT) [tex]\rightarrow[/tex] n = 2a (a [tex]\epsilon[/tex] Z)
Khi đó : A = [tex]8a^{3} + 4024a[/tex] = [tex]8a(a^{2} + 503)[/tex]

Xét các trường hợp của a :
TH1 : a = 6b (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]48b(36b^{2} + 503)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 48 [tex](1)[/tex]

TH2 : a = 6b + 1 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 1)(36b^{2} + 12b + 504)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8
mà [tex]36b^{2} + 12b + 504[/tex] chia hết cho 6 (Do từng hạng tử của nó chia hết cho 6)[tex]\rightarrow[/tex]A chia hết cho 6
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 6.8 = 48 [tex](2)[/tex]

TH3 : a = 6b + 2 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 2)(36b^{2} + 24b + 507)[/tex]
= [tex]16(3b + 1)(36b^{2} + 24b + 507)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16
mà [tex]36b^{2} + 24b + 507[/tex] chia hết cho 3 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 3
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16.3 = 48 [tex](3)[/tex]

TH4 : a = 6b + 3 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 3)(36b^{2} + 36b + 512)[/tex]
= [tex]24(2b + 1)(36b^{2} + 36b + 512)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 24
mà [tex]36b^{2} + 36b + 512[/tex] chia hết cho 2 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 2
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 24.2 = 48 [tex](4)[/tex]

TH5 : a = 6b + 4 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 4)(36b^{2} + 48b + 519)[/tex]
= [tex]16(3b + 2)(36b^{2} + 48b + 519)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16
mà [tex]36b^{2} + 48b + 519[/tex] chia hết cho 3 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 3
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16.3 = 48 [tex](5)[/tex]

TH6 : a = 6b + 5 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 5)(36b^{2} + 60b + 528)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8
mà [tex]36b^{2} + 60b + 528[/tex] chia hết cho 6 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 6
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8.6 = 48 [tex](6)[/tex]

Từ [tex](1), (2), (3), (4), (5), (6)[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] n^{3} + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

 

[iiarareum]

Đây là lần đầu tiên mình trả lời nên có khó nhìn hay sai thì xin lỗi nhé

Đặt A = [tex]n^{3} + 2012n[/tex]

Ta có :
Do n chẵn (GT) [tex]\rightarrow[/tex] n = 2a (a [tex]\epsilon[/tex] Z)
Khi đó : A = [tex]8a^{3} + 4024a[/tex] = [tex]8a(a^{2} + 503)[/tex]

Xét các trường hợp của a :
TH1 : a = 6b (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]48b(36b^{2} + 503)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 48 [tex](1)[/tex]

TH2 : a = 6b + 1 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 1)(36b^{2} + 12b + 504)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8
mà [tex]36b^{2} + 12b + 504[/tex] chia hết cho 6 (Do từng hạng tử của nó chia hết cho 6)[tex]\rightarrow[/tex]A chia hết cho 6
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 6.8 = 48 [tex](2)[/tex]

TH3 : a = 6b + 2 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 2)(36b^{2} + 24b + 507)[/tex]
= [tex]16(3b + 1)(36b^{2} + 24b + 507)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16
mà [tex]36b^{2} + 24b + 507[/tex] chia hết cho 3 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 3
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16.3 = 48 [tex](3)[/tex]

TH4 : a = 6b + 3 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 3)(36b^{2} + 36b + 512)[/tex]
= [tex]24(2b + 1)(36b^{2} + 36b + 512)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 24
mà [tex]36b^{2} + 36b + 512[/tex] chia hết cho 2 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 2
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 24.2 = 48 [tex](4)[/tex]

TH5 : a = 6b + 4 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 4)(36b^{2} + 48b + 519)[/tex]
= [tex]16(3b + 2)(36b^{2} + 48b + 519)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16
mà [tex]36b^{2} + 48b + 519[/tex] chia hết cho 3 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 3
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 16.3 = 48 [tex](5)[/tex]

TH6 : a = 6b + 5 (b [tex]\epsilon[/tex] Z)
A = [tex]8(6b + 5)(36b^{2} + 60b + 528)[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8
mà [tex]36b^{2} + 60b + 528[/tex] chia hết cho 6 [tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 6
[tex]\rightarrow[/tex] A chia hết cho 8.6 = 48 [tex](6)[/tex]

Từ [tex](1), (2), (3), (4), (5), (6)[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] n^{3} + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

- Trời bạn chăm chỉ gõ quá mình thán phục đấy ^^ Cảm ơn bạn nhiều. Nhưng có vẻ nó dài nhỉ?

 

[ankhongu]

- Trời bạn chăm chỉ gõ quá mình thán phục đấy ^^ Cảm ơn bạn nhiều. Nhưng có vẻ nó dài nhỉ?

Ừm, có thể có cách ngắn hơn, nhưng tớ không biết. Viết ra giấy thì cũng không dài lắm đâu

 

[harder & smarter]

- Trời bạn chăm chỉ gõ quá mình thán phục đấy ^^ Cảm ơn bạn nhiều. Nhưng có vẻ nó dài nhỉ?

Cách khác: [tex]n^{3}+2012n=n(n^{2}+2012)[/tex]
Do n chẵn => n=2k
=> [tex]2k(4k^{2}+2012)=8k(k^{2}+503)[/tex]
Chỉ cần chứng minh k(k^{2}+503)[/tex] chia hết cho 6 là xong
+Với k chia hết cho 2
=> k(k^{2}+503)[/tex] chia hết cho 2
+Với k ko chia hết cho 2
=> k=2t+1
=> [tex](2t+1)^{2}+503=4t^{2}+4t+504\vdots 2[/tex]
Vậy k(k^{2}+503)[/tex] chia hết cho 2
Chứng minh chia hết cho 3 thì thay lần lượt k=3t; 3t+1; 3t+2 .......................