Toán 10 CM BĐT

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y ,z>0 và x+y+z=3xyz. CM:
[tex]\frac{y^{2}}{x^{3}(3y^{2}+1)}+\frac{z^{2}}{y^{3}(3z^{2}+1)}+\frac{x^{2}}{z^{3}(3x^{2}+1)}\geq \frac{3}{4}[/tex]

 

[Minhquan15381999@gmail.com]

Đặt [tex]a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}[/tex]
theo bài ra giả thiết trở thành
[tex]ab+bc+ca=3 [/tex]
bất đẳng thức trở thành
A=[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}[/tex]
hay thay [tex]ab+bc+ca =3[/tex] vào ta được
[tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\frac{a^{3}}{\left ( b+c \right )\left ( b+a \right )} +\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3}{4}a[/tex]
áp dụng tương tự ta được [tex]A+\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}\geq \frac{3}{4}\left ( a+b+c \right )[/tex]
hay[tex]A\geq \frac{a+b+c}{4}[/tex] ta có;[tex]\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )=9 =>a+b+c\geq 3[/tex]
[tex]=> A\geq \frac{3}{4}[/tex]