Toán CM BĐT

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/tex] CMR:
[tex]a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}\geq a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}[/tex]

 

[Cao Thủ Liên quân]

Ta có: VP=[tex]a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}[/tex]
<=>3.VP=[tex](a^{2011}+b^{2011}+c^{2011})(a^{3}+b^{3}+c^{3})[/tex]
Áp dụng BĐT Chebyshev:[tex](a^{2011}+b^{2011}+c^{2011})(a^{3}+b^{3}+c^{3})[/tex] [tex]\leq 3(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})[/tex] <=>3VP [tex]\leq[/tex] 3VT
<=>VP [tex]\leq[/tex] VT (đpcm)
Dấu = xảy ra <=>[tex]a^{2011}=b^{2011}=c^{2011}[/tex] và [tex]a^{3}=b^{3}=c^{3}[/tex]
<=>a=b=c hoặc a=-b=c hoặc a=b=-c hoặc a=-b=-c
Vậy [tex]a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}\geq a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}[/tex]