Cm bđt

[be_lin2001@yahoo.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) x^4 + y^4 <= (x^6/ y^2) + (y^6/x^2) voi x, y khac 0.
2) Cho a, b, c dương. CM: (ab/c) + (bc/a) + (ca/b) >= a+b+c ( ko dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhia, Cosi,... ai giải được giúp mình nha )
3) Cho a, b, c LÀ ĐỘ DÀI 3 Cạnh của 1 tam giác. CM: (a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)≤abc
4) a^4 + b^4 + c^4 >= abc(a+b+c)

ta có: 2(a^2 -bc)^2 + 2(b^2 -ac)^2 +2(c^2-ab)^2 + (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2 >=0
<=> 4a^4 + 4b^4 +4c^4 - 4.(a^2.bc + b^2.ac + c^2.ab) >=0
<=> a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)
đpcm

Bài 4 có lần anh mình giải như vậy nhưng mình lại ko hiểu dòng đầu tiên cho lắm!
Ai giải thích giùm mình với. ^^
Cám ơn trước nha!

 

[tranvanhung7997]

1, đpcm <=> $x^6y^2 + x^2y^6 \le x^8 + y^8$
<=> $(x^2 - y^2)(x^6 - y^6) \ge 0$
<=> $(x^2 - y^2)^2(x^4 + x^2y^2 + y^4) \ge 0$ luôn đúng

 

[tranvanhung7997]

2, Ta có bđt sau: $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$
Thật vậy: bđt trên <=> $(x - y)^2 +(y - z)^2 + (z - x)^2 \ge 0$ luôn đúng. Dấu = tại $x = y = z$
Ta có: đpcm <=> $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \ge abc(a + b + c)$ đúng vì theo bđt
chứng minh ở trên ta có:
$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \ge abbc + bcca + caab = abc(a + b + c)$

 

[be_lin2001@yahoo.com]

1, đpcm <=> $x^6y^2 + x^2y^6 \le x^8 + y^8$
<=> $(x^2 - y^2)(x^6 - y^6) \ge 0$
<=> $(x^2 - y^2)^2(x^4 + x^2y^2 + y^4) \ge 0$ luôn đúng

bạn ơi, hình như bạn quy đồng lộn rồi thì phải. x^12 và y^12 mà. tại sao lại là x^6y^2 và y^2x^6 được?

 

[evilfc]

bài 2 đây bạn

ta sẽ c/m BDt phụ sau:$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$\geq2.
\Leftrightarrow$x^2+y^2$\geq2xy
\Leftrightarrow$(x-y)^2$\geq0 luôn đúng.
áp dụng BDT trên ta sẽ được $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}$\geqb($\dfrac{a}{c}$+$\dfrac{c}{a}$)\geq2b.
tương tự ta cũng có $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}$\geq2c.
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ca}{b}$\geq2a.
cộng các vế BDT trên ta sẽ có đpcm

 

[trinhminh18]

3) Cho a, b, c LÀ ĐỘ DÀI 3 Cạnh của 1 tam giác. CM: (a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)≤abc
Ta có $a^2$>$a^2-(b-c)^2$
\Rightarrow$a^2$> (a-b+c)(a+b-c)
Tương tự :
$b^2$> (a+b-c)(b+c-a)
$c^2$> (c+b-a)(c+a-b)
\Rightarrow$(abc)^2$> $ [(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)]^2$
\RightarrowĐPCM

 

[trinhminh18]

4) a^4 + b^4 + c^4 >= abc(a+b+c)

ta có: 2(a^2 -bc)^2 + 2(b^2 -ac)^2 +2(c^2-ab)^2 + (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2 >=0
<=> 4a^4 + 4b^4 +4c^4 - 4.(a^2.bc + b^2.ac + c^2.ab) >=0
<=> a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)
đpcm

Bài 4 có lần anh mình giải như vậy nhưng mình lại ko hiểu dòng đầu tiên cho lắm!
Ai giải thích giùm mình với. ^^

Đúng ra thì anh ấy phải vik là
$[2(a^2 -bc)]^2 + [2(b^2 -ac)]^2 +[2(c^2-ab)]^2 + (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2 $>0
Vì ở trên là các bình phương nên mỗi bình phương sẽ> 0 \Rightarrow tổng chúng > 0
Sau đó khai triển mỗi binhd phương rùi làm típ như bên dưới thì sẽ ra điều phải c/m
Nếu mún dễ hỉu hơn thì có thể nên đi ngược lại (theo mình nghĩ thế ^-^):
Mún c/m
$a^4 + b^4 + c^4$ > abc(a+b+c) thì trước hết phải c/m đc
$a^4 + b^4 + c^4 - abc(a+b+c)$ > 0
\Leftrightarrow4[$a^4 + b^4 + c^4 - abc(a+b+c)$ ]> 0
\Leftrightarrow$4a^4 +4b^4 +4c^4 - 4a^2bc-4b^2ac-4c^2ab$ > 0
\Leftrightarrow $(a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2+2a^4+2b^4+2c^4+2(ab)^2 +2(bc)^2+2(ca)^2- 4a^2bc-4b^2ac-4c^2ab$> 0
\Leftrightarrow$[2(a^2 -bc)]^2 + [2(b^2 -ac)]^2 +[2(c^2-ab)]^2 + (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 +(c^2-a^2)^2 $>0
\RightarrowĐPCM

 

[be_lin2001@yahoo.com]

hiểu bài 4 goh! thanks bạn nhiều nhiều nha! bạn nhiệt tình quá!

 

[be_lin2001@yahoo.com]

3) Cho a, b, c LÀ ĐỘ DÀI 3 Cạnh của 1 tam giác. CM: (a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)≤abc
Ta có $a^2$>$a^2-(b-c)^2$
\Rightarrow$a^2$> (a-b+c)(a+b-c)
Tương tự :
$b^2$> (a+b-c)(b+c-a)
$c^2$> (c+b-a)(c+a-b)
\Rightarrow$(abc)^2$> $ [(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)]^2$
\RightarrowĐPCM

bạn ơi mình nhớ kiến thức là a> b-c chứ đâu có a>=b-c đâu?
Định lí :
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.
Hệ quả :
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn nhỏ hơn cạnh còn lại.

CHỨ MÌNH ĐÂU CÓ THẤY TRƯỜNG HỢP = ĐÂU

 

[evilfc]

ý bạn đó là vậy nè $a^2$\geq$a^2$ luôn đúng. do $(b-c)^2$\geq0 nên $a^2$\geq$a^2$-$(b-c)^2$ chứ không phải là như bạn nói

 

[su10112000a]

4) a^4 + b^4 + c^4 >= abc(a+b+c)

bài 4 là 1 bài thừơng gặp khi học bđt Cauchy:
ta có:
$a^4+a^4+b^4+c^4 \ge 4\sqrt[4]{a^8b^4c^4}$
\Rightarrow$a^4+a^4+b^4+c^4 \ge 4a^2bc$
tương tự, ta có:
$b^4+b^4+c^4+a^4 \ge 4ab^2c$
$c^4+c^4+a^4+b^4 \ge 4abc^2$
cộng lại rồi rút gọn, ta có: đpcm
nói chung dạng này là thấy số mũ lớn nhất là bao nhiêu đơn vị sẽ áp dụng Cauchy bấy nhiêu số

 

[cuuconlonton]

Ai giải dùm mình bài này đi:
già sử phương trình bậc 2: x^2 + ax + b+1 = 0 với b khác -1 có 2 nghiệm nguyên. Chứng mình: a^2 + b^2 là hợp số

 

[eye_smile]

B4 cách khác:
AD ${a^2}+{b^2}+{c^2} \ge ab+bc+ca$

${a^4}+{b^4}+{c^4} \ge {a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{c^2}{a^2} \ge ab.bc+bc.ca+ca.ab=abc(a+b+c)$

 

[buibangphi]

a:a^2+b^2lớn hơn hoặc bằng 2ab(bất đẳng thức cô-si)(1)
b^2+c^2 lớn hơn hoặc bằng 2bc(bất đẳng thức cô-si)(2)
a^2+c^2 lớn hơn hoăc bằng 2ac(bất đẳng thưc cô-si)(3)
Cộng 2 vế ta được:2(a^2+b^2+c^2) lớn hơn hoặc bằng 2(ab+bc+ac)
=>a^2+b^2+c^2 lớn hơn hoặc bằng ab+bc+ac