cm bdt

[doremon707]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x\geqy\geqz\geq0
cm $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}$\geq $ x^2+y^2+z^2 $

 

[quangltm]

cho x\geqy\geqz\geq0
cm $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}$\geq $ x^2+y^2+z^2 $

@Toc Ngan VMF:

Bài này có thể dùng Cauchy-Schwarzt như sau :
$(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}) \ge (x^2+y^2+z^2)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \ge \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}$$

Quy đồng mẫu số ta cần chứng minh

$$x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2 \ge x^3z^2+y^3x^2+z^3y^2$$

$\iff P(x,y,z)(x-y)(y-z)(x-z)\ge 0$ với $P(x,y,z) >0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $x \ge y \ge z >0$

Vậy ta có đpcm

........................................................................................................................................