CM BĐT bà kon ơi!!!!

[cool_strawberry]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y>=0 và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
CM rằng:[TEX]1/\sqrt{2}<=[/TEX][TEX]x^3+y^3<=1[/TEX]

 

[251295]

Cho x,y>=0 và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
CM rằng:[TEX]1/\sqrt{2}<=[/TEX][TEX]x^3+y^3<=1[/TEX]

- Ta có:

- Vì [TEX]x,y \geq 0[/TEX] và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX] nên:

[TEX]\Rightarrow 0 \leq x,y \leq 1 \Rightarrow x^3 \leq x^2;y^3 \leq y^2 \Rightarrow x^3+y^3 \leq x^2+y^2=1[/TEX]

- Vậy [TEX]x^3+y^3 \leq 1 (1)[/TEX]

- Ta lại có: [TEX](x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y \leq \sqrt {2}[/TEX]

- Mà: [TEX]1=(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})^2 \leq (x+y)(x^3+y^3) \leq \sqrt{2}(x^3+y^3) \Rightarrow x^3+y^3 \geq \frac{1}{ \sqrt {2} } ( 2 ) [/TEX]

- Vậy từ (1)(2) suy ra: [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}} \geq x^3+y^3 \geq 1[/TEX]

 

[cuccuong]

Cho x,y>=0 và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
CM rằng:[TEX]1/\sqrt{2}<=[/TEX][TEX]x^3+y^3<=1[/TEX]

[TEX]x^2+y^2 =1 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow x^3 \leq x^2[/TEX]
chứng minh tương tự ta cũng có: [TEX]y^3 \leq y^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3 \leq x^2+y^2 \Rightarrow x^3+y^3 \leq 1 ^{(1)}[/TEX]
ta lại có: [TEX](x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2xy \Rightarrow 1 \geq 2xy \Rightarrow xy \geq 2x^2y^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^4+y^4+xy \geq x^4+y^4+2x^2y^2 \Rightarrow x^4+y^4 +xy(x^2+y^2) \geq (x^2+y^2)^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^4+x^3y+y^4+xy^3 \geq 1 \Rightarrow x^3(x+y)+y^3(x+y) \geq 1 \Rightarrow (x^3+y^3)(x+y) \geq 1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3 \geq \frac{1}{x+y}[/TEX]
mặt khác: [TEX]x^2+y^2 \geq 2xy \Rightarrow (x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow (x+y)^2 \leq 2 \Rightarrow x+y \leq \sqrt2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{sqrt2} [/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3 \geq \frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{sqrt2} ^{(2)}[/TEX]
từ (1) và (2) \Rightarrow [TEX]\frac{1}{sqrt2} \leq x^3+y^3 \leq 1[/TEX]