Cho x,y>=0 và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
CM rằng:[TEX]1/\sqrt{2}<=[/TEX][TEX]x^3+y^3<=1[/TEX]
- Ta có:
- Vì [TEX]x,y \geq 0[/TEX] và [TEX]x^2+y^2=1[/TEX] nên:
[TEX]\Rightarrow 0 \leq x,y \leq 1 \Rightarrow x^3 \leq x^2;y^3 \leq y^2 \Rightarrow x^3+y^3 \leq x^2+y^2=1[/TEX]
- Vậy [TEX]x^3+y^3 \leq 1 (1)[/TEX]
- Ta lại có: [TEX](x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y \leq \sqrt {2}[/TEX]
- Mà: [TEX]1=(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})^2 \leq (x+y)(x^3+y^3) \leq \sqrt{2}(x^3+y^3) \Rightarrow x^3+y^3 \geq \frac{1}{ \sqrt {2} } ( 2 ) [/TEX]
- Vậy từ (1)(2) suy ra: [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}} \geq x^3+y^3 \geq 1[/TEX]
Last edited by a moderator: