Toán 10 CM Bất đẳng thức

[duyhung689]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]a,b,c,d \ge 0[/imath] thỏa mãn [imath](a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0[/imath]

CMR. [imath]\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}} \ge 2[/imath]

 

[2712-0-3]

cho a,b,c,d >= 0 thỏa mãn (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0 cmr căn(a/b+c+d)+căn(b/a+c+d)+căn(c/a+b+d)+căn(d/a+b+c) >=2

duyhung689Ta đi chứng minh: [imath]\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}} \geq \dfrac{2a}{a+b+c+d}[/imath]
TH1: [imath]a=0[/imath], hiển nhiên
TH2: [imath]a\ne 0[/imath], khi này, áp dụng AM-GM ta có: [imath]\sqrt{a}\sqrt{b+c+d} \leq \dfrac{a+b+c+d}{2}[/imath], cũng suy ra điều trên.
Áp dụng điều ta vừa chứng minh cho 4 phân thức, suy ra [imath]VT \geq \dfrac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2[/imath]
Dấu bằng xảy ra khi [imath]a=0[/imath] hoặc [imath]b+c+d=a[/imath], tương tự các biến khác.
Từ đó suy ra có 2 số bằng 0, 2 số còn bằng nhau trong 4 số [imath]a,b,c,d[/imath]