Toán 8 Cm bất đẳng thức

[Yui Haruka]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có BC=a,AC=b,AB=c. Do dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các định A,B,C lần lượt là x,y,z. Chứng minh rằng: 1/x+1/y+1/z>1/a+1/b+1/c

 

[Darkness Evolution]

Hình bn tự vẽ
Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên [TEX]AE=AB=c[/TEX]
suy ra [TEX] CE=CA+AE=b+c[/TEX]
Do AD // BE, ta có:
[tex]\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}[/tex] (Định lí Ta-lét)
[tex]\Rightarrow \frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\frac{b}{b+c} \cdot BE[/tex]
Mà [tex]BE< AB+AE=2c[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\frac{b}{b+c} \cdot BE[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{b+c}{2bc}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Tương tư, [TEX]\frac{1}{y}>\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{z}>\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})[/TEX]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{2}\cdot 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex] (đpcm)

 

[Yui Haruka]

Hình bn tự vẽ
Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên [TEX]AE=AB=c[/TEX]
suy ra [TEX] CE=CA+AE=b+c[/TEX]
Do AD // BE, ta có:
[tex]\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}[/tex] (Định lí Ta-lét)
[tex]\Rightarrow \frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\frac{b}{b+c} \cdot BE[/tex]
Mà [tex]BE< AB+AE=2c[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\frac{b}{b+c} \cdot BE[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{b+c}{2bc}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
Tương tư, [TEX]\frac{1}{y}>\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{z}>\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})[/TEX]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{2}\cdot 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex] (đpcm)

Bạn làm bài với cách kẻ thêm khác là từ C kẻ // với AD cả AB tại M đc ko