Toán 9 Cm bất đẳng thức

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình với ạ:
Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: [tex]a+b+c=abc[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}< 1[/tex]
@Mộc Nhãn ,@TranPhuong27

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex](\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow xy+yz+zx[/tex]
BĐT trở thành: [tex]\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}< 1+\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}\Leftrightarrow z\sqrt{1+x^2}+z\sqrt{1+y^2}< z+\sqrt{1+z^2}\Leftrightarrow z^2(1+x^2+1+y^2)-2z^2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}< 2z^2+1+2z\sqrt{z^2+1}\Leftrightarrow x^2z^2+y^2z^2-2z^2\sqrt{(x+y)^2(y+z)(z+x)}< 1+2z\sqrt{z^2+1}\Leftrightarrow x^2z^2+y^2z^2-1-2z^2(x+y)\sqrt{z^2+1}< 2z\sqrt{z^2+1}\Leftrightarrow x^2z^2+y^2z^2-1-2z(xz+yz)\sqrt{z^2+1}< 2z\sqrt{z^2+1}\Leftrightarrow x^2z^2+y^2z^2-1-2z(1-xy)\sqrt{z^2+1}-2z\sqrt{z^2+1}< 0\Leftrightarrow x^2z^2+y^2z^2-1-2z\sqrt{z^2+1}(-xy)< 0[/tex]
Vì [tex]1=(xy+yz+zx)^2=x^2z^2+y^2z^2+x^2y^2+2xyz(x+y+z)> x^2z^2+y^2z^2\Rightarrow đpcm[/tex]