cho a b c là các số dương tm: [tex]a+b+c+ab+bc+ca=6[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a^2+b^2+c^2\geq 3[/tex]
+) Trước hết đi CM [tex]a^2+b^2+c^2\geq 3[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy 2 số: [tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
[tex]b^2+c^2\geq 2bc[/tex]
[tex]c^2+a^2\geq 2ac[/tex]
[tex]a^2+1\geq 2a[/tex]
[tex]b^2+1\geq 2b[/tex]
[tex]c^2+1\geq 2c[/tex]
Cộng vế các bđt trên lại ta được: [tex]3(a^2+b^2+c^2)+3\geq 2(ab+bc+ac+a+b+c)[/tex]
mà a+b+c+ab+ac+bc=6 [tex]\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+3\geq 12\Rightarrow a^2+b^2+c^2+1\geq 4\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3[/tex]
Dấu = xra khi và chỉ khi a=b=c=1 (1)
+) Ta có: [tex]\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2;\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2[/tex]
Cộng vế các bđt trên lại ta được: [tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ac+ab+bc \geq 2a^2+2b^2+2c^2[/tex]
Ta có bđt quen thuộc: [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+a^2+b^2+c^2\geq \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ac+ab+bc\geq 2(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a^2+b^2+c^2[/tex] (2)
Dấu = xra khi và chỉ khi a=b=c=1
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
