Toán 9 Cm bất đẳng thức

[Tina68]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cmr với [tex]x,y > 0[/tex] ta luôn có
[tex]\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{2x-y}{3}[/tex]
Áp dụng cmr với [tex]a,b,c> 0[/tex] ta có
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+ac}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{x^2+xy+y^2}{3}\geq \sqrt[3]{x^2.xy.y^2}=xy\Rightarrow x^2+xy+y^2\geq 3xy[/tex]
[tex]\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=x-\frac{x^2y+xy^2}{x^2+xy+y^2}=x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\geq x-\frac{xy(x+y)}{3xy}=x-\frac{x+y}{3}=\frac{2x-y}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{2x-y}{3}[/tex] (đpcm)
Áp dụng BĐT trên ta có:
[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2+ac}\geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{2(a+b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}[/tex] (đpcm)