Toán 11 CM bất đặng thức

[Tú Vy Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho căn(a^2+b^2) + căn(b^2+c^2) + căn(c^2+a^2) = 3căn2
Chứng minh

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) >= 3/2

 

[kingsman(lht 2k2)]

Cho căn(a^2+b^2) + căn(b^2+c^2) + căn(c^2+a^2) = 3căn2
Chứng minh

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) >= 3/2

bài này mk chứng minh hơi dài dòng mong bạn thông cảm ( lâu quá ko đụng bất)
bài giải
ta có điều kiện
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=3\sqrt{2}[/tex]
ta chứng minh vế trái
áp dụng [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/tex]
cmtt ta được [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b+c\leq 3[/tex] (*)
bây h ta chứng minh [tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
bđt đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$(1)
ta có VT=$\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
ma $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}= \frac{3}{2}$ suy ra (dpcm)
trở lại với bđt đã cho
[tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
<=>[tex]\frac{a^{2}}{b+c+a}+\frac{b^{2}}{a+c+b}+\frac{c^{2}}{a+b+c}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{a+c}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex] (bdt 1)
vậy (*) đúng => bđt đã cho đúng dcpcm

​

 

[Tú Vy Nguyễn]

bài này mk chứng minh hơi dài dòng mong bạn thông cảm ( lâu quá ko đụng bất)
bài giải
ta có điều kiện
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=3\sqrt{2}[/tex]
ta chứng minh vế trái
áp dụng [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/tex]
cmtt ta được [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b+c\leq 3[/tex] (*)
bây h ta chứng minh [tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
bđt đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$(1)
ta có VT=$\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
ma $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}= \frac{3}{2}$ suy ra (dpcm)
trở lại với bđt đã cho
[tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
<=>[tex]\frac{a^{2}}{b+c+a}+\frac{b^{2}}{a+c+b}+\frac{c^{2}}{a+b+c}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{a+c}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex] (bdt 1)
vậy (*) đúng => bđt đã cho đúng dcpcm

​

mik giải còn k ra đây có là mừng rùi tks nha

 

[iceghost]

bài này mk chứng minh hơi dài dòng mong bạn thông cảm ( lâu quá ko đụng bất)
bài giải
ta có điều kiện
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=3\sqrt{2}[/tex]
ta chứng minh vế trái
áp dụng [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/tex]
cmtt ta được [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b+c\leq 3[/tex] (*)
bây h ta chứng minh [tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
bđt đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$(1)
ta có VT=$\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
ma $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}= \frac{3}{2}$ suy ra (dpcm)
trở lại với bđt đã cho
[tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
<=>[tex]\frac{a^{2}}{b+c+a}+\frac{b^{2}}{a+c+b}+\frac{c^{2}}{a+b+c}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{a+c}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex] (bdt 1)
vậy (*) đúng => bđt đã cho đúng dcpcm

​

Sai rồi. Làm theo cách đó thì phải CM $a+b+c \geqslant 3$ mới đúng, mà đây là điều không thể

 

[kingsman(lht 2k2)]

Sai rồi. Làm theo cách đó thì phải CM $a+b+c \geqslant 3$ mới đúng, mà đây là điều không thể

bị ngược dấu , bài ngày dùng pp lg hóa thì co thể ra

 

[Tú Vy Nguyễn]

bị ngược dấu , bài ngày dùng pp lg hóa thì co thể ra

em thấy hình như a hk có áp dụng điều kiện
mà thầy bảo em áp dụng cô si

 

[Nguyễn Hương Trà]

Cho căn(a^2+b^2) + căn(b^2+c^2) + căn(c^2+a^2) = 3căn2
Chứng minh

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) >= 3/2

đặt x=căn(a^2+b^2); y= căn(b^2+c^2); z= căn(c^2+a^2)
=> x+y+z= 3 căn2
và x^2+ y^2+z^2=2(a^2+b^2+c^2)
a^2=(x^2-y^2+z^2)/2; b^2=...
dùng bun giải tiếp

 

[iceghost]

Cho căn(a^2+b^2) + căn(b^2+c^2) + căn(c^2+a^2) = 3căn2
Chứng minh

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) >= 3/2

Từ gt CM được $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$
Ngoài ra ta còn có $b+c \leqslant \sqrt{2(b^2+c^2)}$
Suy ra $\dfrac{a^2}{b+c} \geqslant \dfrac{3 - (b^2+c^2)}{\sqrt{2(b^2+c^2)}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{b^2+c^2}} - \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)}}2$
Tương tự, bạn cộng lại rồi dùng $\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z \geqslant \dfrac{9}{x+y+z}$ nhé

 

[kingsman(lht 2k2)]

em thấy hình như a hk có áp dụng điều kiện
mà thầy bảo em áp dụng cô si

các bạn trên giải ổn rồi nhé bài giải của mk sai và dài nên bạn áp dụng hai bài trên