Cm bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$; $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4(a+b+c)$

 

[eye_smile]

Điều kiện của bài này có phải đã biến tấu cái gì không bạn

 

[manhnguyen0164]

Điều kiện của bài này có phải đã biến tấu cái gì không bạn

Vẫn nguyên si như vậy mà...mình có thay đổi gì đâu...

 

[minhhieupy2000]

Cho $a,b,c>0$; $ab+bc+ca+2abc=1$(*). Chứng minh:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4(a+b+c)$(*)(*)

Ta có (*) \Leftrightarrow $\dfrac{1}{1+a}+ \dfrac{1}{1+b} + \dfrac{1}{1+c} =2$ (cái này bạn tự chứng minh nhá)

Đặt $x=1-\dfrac{1}{1+a}; \ y=1-\dfrac{1}{1+b}; \ z=1-\dfrac{1}{1+c} $\Rightarrow $x+y+z=1$

Ta có: $x=1-\dfrac{1}{1+a}$ \Rightarrow $1-x=\dfrac1{1+a}$ \Rightarrow $1+a=\dfrac1{1-x}$ \Rightarrow $a=\dfrac{1}{1-x}-1=\dfrac{1-1+x}{1-x}=\dfrac{x}{y+z}$ (do $x+y+z=1$)
Tương tự : $b=\dfrac{y}{x+z};\ c=\dfrac{z}{x+y}$

\Rightarrow (*)(*) \Leftrightarrow $\dfrac{y+z}{x} + \dfrac{z+x}{y} + \dfrac{x+y}{z} \ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y})$(cái này làm hơi tắt)

(*)(*) \Leftrightarrow $\sum{x(\dfrac{1}{y}+\dfrac1{z})} \ge \sum{\dfrac{4x}{z+y}}$

Đến đây áp dụng BĐT :$ \dfrac1{z}+\dfrac1{y} \ge \dfrac4{z+y}$
Rồi .....

Dấu bằng BĐT xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac12$
Bài này làm hết cả 1 quyển vở nháp của tuôi
Nhớ Thanks và chấm đúng