Cm bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh: Nếu $a+b=2$ thì $a^4+b^4\ge2$
2. Cho a,b,c thõa mãn $ab+bc+ca=4$. Chứng minh $a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{11}{3}$

 

[nhuquynhdat]

1. $a+b=2 \leftrightarrow (a+b)^2-2ab=2 \leftrightarrow 4-2ab=2 \leftrightarrow ab=1$

$a^4+b^4 \ge 2\sqrt{a^2b^2}= 2|ab|=2$

$\Longrightarrow a^4+b^4 \ge 2$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Cách 1:

Theo Cauchy-Schwarz:

$a^4+b^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$

Cũng theo Cauchy-Schwarz: $a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}=2$

Suy ra $a^4+b^4 \ge 2$

Cách 2:

Theo BDT Holder: $a^4+b^4 \ge \dfrac{(a+b)^4}{8}=2$

Cách 3:

$x^4-4x+3=x^4-x^3+x^3-x^2+x^2-x-3x-3=(x-1)(x^3+x^2+x-3)=(x-1)^2(x^2+2x+3) \ge 0$

Suy ra $a^4+b^4 \ge 4(a+b)-6=2$

Bài 2:

$a^4+b^4+c^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=\dfrac{16}{3} > \dfrac{11}{3}$