CM bất đẳng thức

[darkangel98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0. Cm:
[TEX]\frac{xy^2}{x^2+2y^2+z^2}+\frac{yz^2}{x^2+y^2+2z^2}+\frac{zx^2}{z^2+2x^2+y^2}\leq\frac{x+y+z}{4}[/TEX]

Nhắc nhở lần 1: Đặt tiêu đề lan man!

Xem 6 điều mem cần biết!

 

[congchuaanhsang]

Cho x,y,z>0. Cm:
[TEX]\frac{xy^2}{x^2+2y^2+z^2}+\frac{yz^2}{x^2+y^2+2z^2}+\frac{zx^2}{z^2+2x^2+y^2}\leq\frac{x+y+z}{4}[/TEX]

Áp dụng $\dfrac{1}{a+b}$ \leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$ với a,b dương:

VT \leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}+\dfrac{xy^2}{y^2+z^2}+\dfrac{yz^2}{x^2+z^2}+\dfrac{yz^2}{y^2+z^2}+\dfrac{zx^2}{z^2+x^2}+\dfrac{zx^2}{x^2+y^2})$

Cauchy cho mẫu từng phân số được:

$VT$ \leq $\dfrac{1}{4}(x+y+z)=VP$

 

[hien_vuthithanh]

Áp dụng $\dfrac{1}{a+b}$ \leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$ với a,b dương:

VT \leq $\dfrac{1}{4}(\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}+\dfrac{xy^2}{y^2+z^2}+\dfrac{yz^2}{x^2+z^2}+\dfrac{yz^2}{y^2+z^2}+\dfrac{zx^2}{z^2+x^2}+\dfrac{zx^2}{x^2+y^2})$

Cauchy cho mẫu từng phân số được:

$VT$ \leq $\dfrac{1}{4}(x+y+z)=VP$

tại sao lại vậy nhỉ ?
sau khi Cauchy được : VT\leq $\dfrac{1}{4}.(\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{xy}{2z}$+ $\dfrac{yz}{2x}$+$\dfrac{zx}{2y})$
ta có
$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}$ = $\dfrac{x^2y^2}{xyz}$ + $\dfrac{y^2z^2}{xyz}$+$\dfrac{z^2x^2}{xyz}$ = $\dfrac{1}{xyz}$.$(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
có $\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}$\geq$ xy^2z$
TT\Rightarrow$ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ \geq (x+y+z).xyz
\Rightarrow $\dfrac{x^2y^2}{xyz}+\dfrac{y^2z^2}{xyz}+\dfrac{z^2x^2}{xyz}$\geq x+y+z
\Rightarrow $\dfrac{xy}{2z}$+ $\dfrac{yz}{2x}$+$\dfrac{zx}{2y}$\geq $\dfrac{x+y+z}{2}$

vậy thì làm sao có dòng màu đỏ đó dc