cm bất đẳng thức

[mrdoanhp1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a ) [tex]a^2[/tex]+[tex]b^2[/tex]+[tex]c^2[/tex] \geq ab+bc+ca với mọi a,b,c thuộc R

b) A= [tex]\frac{1}{1^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{3^2}[/tex] +...[tex]\frac{1}{n^2}[/tex] < [tex]\frac{5}{3}[/tex] ( n> 1)


B= [tex]\frac{a+b}{c}[/tex] + [tex]\frac{b+c}{a}[/tex]+ [tex]\frac{c+a}{b}[/tex] \geq 6 ; ( a,b,c >0)

Bài 2 : Chứng minh rằng :
a ) [tex]5^2005[/tex] +[tex]5^2003[/tex] chia hết cho 13

b )[tex]a^2[/tex] + [tex]b^2[/tex]+1 \geq ab+a+b

c ) Cho a+b+c = 0. chứng minh : [tex]a^3[/tex]+[tex]b^3[/tex] + [tex]c^3[/tex] = 3abc

Bài 3 :
a ) tím giá trị của a,b biết : [tex]a^2[/tex] - 2a +6b+ [tex]b^2[/tex] = -10

b ) Tính giá trị của biết thức :

A = [tex]\frac{x+y}{z}[/tex] + [tex]\frac{x+z}{y}[/tex]+ [tex]\frac{y+z}{x}[/tex] nếu [tex]\frac{1}{x}[/tex]+ [tex]\frac{1}{y}[/tex]+ [tex]\frac{1}{z}[/tex] =0

 

[su10112000a]

trả lời

Ta có :
a^2 + b^2 + c^2>= ab +bc + ca
2( a^2 + b^2 + c^2 )>=2(ab +bc + ca)
( a^2 – 2ab + b^2 ) + ( b^2 – 2bc + c^2 )+ ( c^2 – 2ca + a^2 ) >= 0
( a – b)^2 + (b – c )^2 + ( c – a )^2 >=0 (đúng với mọi a,b,c)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
nhớ thanks nha

 

[ronaldover7]

B=$\frac{a+c}{b}$+\frac{a+b}{c}$+$\frac{b+c}{a}$
=$\frac{a}{b}$+\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$
Mà $\frac{a}{b}$+\frac{b}{a}$ \geq 2
$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$ \geq 2
$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$ \geq 2
\Rightarrow dpcm​

 

[ronaldover7]

2a/
$5^{2005}$+$5^{2003}$=$5^{2003}$(25+1)=$5^{2003}$.26 chia hết cho 13
2b/$a^2$+$b^2$+1 \geq ab+a+b
\Rightarrow 2$a^2$+2$b^2$+2 \geq 2ab+2a+2b
\Rightarrow ($a^2$+$b^2$-2ab)+($a^2$+1-2a)+($b^2$+1-2b) \geq 0
\Rightarrow $(a-b)^2$+$(a-1)^2$+$(b-1)^2$ \geq 0 (đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b=1​

 

[ronaldover7]

3/a.$a^2$-2a+$b^2$+6b=-10
\Rightarrow $a^2$-2a+1+$b^2$+6b+9=0
\Rightarrow $(a-1)^2$+$(b+3)^2$=0
\Rightarrow a=1,b=-3
b.$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=0
\Rightarrow (x+y+z)($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$)=0
\Rightarrow $\frac{x+y}{z}$+$\frac{z+x}{y}$+$\frac{z+y}{x}$+3=0
\Rightarrow $\frac{x+y}{z}$+$\frac{z+x}{y}$+$\frac{z+y}{x}$=-3​

 

[su10112000a]

đáp án

câu 1 c
ta có:
(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b \geq6
quy đồng rùi thu gọn ta có:
a^2*b+a*b^2+b*c^2+a^2*c+a*c^2\geq6abc
\Leftrightarrowb(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-c)^2\geq0 (đúng với mọi a,b,c >0 )
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
bài 2:
a/ 5^2005+5^2003
=5^2003(5^2+1)
=5^2003*26
\Rightarrowchia hết cho 13
b/ a^2+b^2+1\geqab+a+b
\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\geq2ab+2a+2b
\Leftrightarrow(a-b)^2+(a-1)^2+(a-1)^2\geq0 (đúng với mọi a,b)
c/ vì a+b+c=0 \Rightarrow a+b=-c
ta có:
a^3+b^3c^3
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)
thay a+b=-c, ta có
(-c)^3+c^3+3abc
=3abc (đpcm)
bài 3
a^2-2a+6b+b^2=-10
\Leftrightarrow(a-1)^2+(b+3)^2=0
giải pt này ta đc a=1, b=-3

 

[thinhrost1]

Cho a+b+c = 0. chứng minh : [tex]a^3[/tex]+[tex]b^3[/tex] + [tex]c^3[/tex] = 3abc

$a^3+b^3+c^3-3abc=0$
$\Leftrightarrow a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2)-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

Sử dụng giả thiết ta có đpcm

 

[congchuaanhsang]

3b, $\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=x(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})+z(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$

=$x.\dfrac{-1}{x}+y.\dfrac{-1}{y}+z.\dfrac{-1}{z}=-3$