CM bất đẳng thức

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Cho a,b,c là độ dài 3 canh trong 1 tam giác
CM $a^2$+$b^2$+$c^2$ \geq 4$\sqrt[]{3}$S
Bài 2
Cho a,b,c >0 CM
$\frac{1}{a(a+b)}$+$\frac{1}{b(b+c)}$+$\frac{1}{c(c+a)}$ \geq $\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
Bải 3
Cho m số không âm $a_1$,$a_2$,...,$a_m$ (a,m,n lầ số tự nhiên)
CM a,$\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_m^k}{m}$ \geq $(\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m})^k$
b, $\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}}$ \geq $\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_m}}{m}$

 

[forum_]

Bài 1: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2457797#post2457797
________________________________

 

[vuive_yeudoi]

Theo Schwartz và áp dụng bđt phụ $a^2+b^2+c^2$ \geq $ab+bc+ca$ thì:

$\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$ \geq $\dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$

Bị ngược nên cái này không đúng rồi em .

Ví dụ như với $ \displaystyle (a,b,c)=(1,1,2) $ thì
$$ \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}-\dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}=-\frac{9}{110} < 0 $$

Thiệt ra thì dùng AM-GM sẽ có
$$ \frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge \frac{3}{\left( \frac{a+b+c}{3} \right) \cdot \left( \frac{ \left(a+b \right) + \left( b+c \right) +\left( c+a \right)}{3} \right)} = \frac{27}{2(a+b+c)^2} $$

 

[vuive_yeudoi]

Bải 3
Cho m số không âm $a_1$,$a_2$,...,$a_m$
CM a,$\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_m^k}{m}$ \geq $(\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m})^k$
b, $\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}}$ \geq $\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_m}}{m}$

Trong đề này , $ \displaystyle k \ ; \ n$ là cái gì em ? Là số nguyên , số tự nhiên , hay số thực bất kỳ , hay là gì ?

Tại vì không phải với $ \displaystyle k \ ; \ n$ thực bất kỳ nào mấy bất đẳng thức dưới cũng đúng .

 

[eye_smile]

Hai câu bài 3 là hệ quả trực tiếp của BĐT AM-GM ạ

 

[vuive_yeudoi]

Bải 3
Cho m số không âm $a_1$,$a_2$,...,$a_m$ CM
a,$\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_m^k}{m}$ \geq $(\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m})^k$
b, $\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}}$ \geq $\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_m}}{m}$

Hai câu bài 3 là hệ quả trực tiếp của BĐT AM-GM ạ

Em nói vầy , ý em là với bất kỳ $ \displaystyle k \ ; \ n$ là số thực nào thì hai câu bài 3 cũng đúng và là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM hả em ?

Thí dụ như với $ \displaystyle m=2$ và $ \displaystyle k=n=9/10 $ đi .

Lúc đó hai bất đẳng thức ứng với hai câu a, và b, trên đề bài là :
$$1, \ \frac{a_1^{9/10}+a_2^{9/10}}{2} \ge \left( \frac{a_1+a_2}{2} \right) ^{9/10}$$
Bất đẳng thức này không đúng với mọi số thực không âm $\displaystyle a_1 ,a_2$ ; phản ví dụ $ \displaystyle (a_1,a_2)=(1,2) $ thì
$$ \frac{a_1^{9/10}+a_2^{9/10}}{2} - \left( \frac{a_1+a_2}{2} \right) ^{9/10} \approx -7.363759652 \cdot 10^{-3} < 0$$
$$2, \ \sqrt[9/10]{\frac{a_1+a_2}{2}} \ge \frac{\sqrt[9/10]{a_1}+\sqrt[9/10]{a_2}}{2} $$
Bất đẳng thức này cũng không đúng với mọi số thực không âm $\displaystyle a_1 ,a_2$ ; phản ví dụ $ \displaystyle (a_1,a_2)=(1,2) $ thì
$$ \sqrt[9/10]{\frac{a_1+a_2}{2}} - \frac{\sqrt[9/10]{a_1}+\sqrt[9/10]{a_2}}{2} \approx -0.01093686093 < 0$$

Tất nhiên là trong trường hợp riêng nào đó của $ \displaystyle k \ ; \ n$ thì chắc lẽ nó sẽ đúng ; nhưng vấn đề ở đây là đề bài không viết rõ $ \displaystyle k \ ; \ n$ là cái gì ấy , em đồng ý không ?

 

[vuive_yeudoi]

Bải 3
Cho m số không âm $a_1$,$a_2$,...,$a_m$ (a,m,n lầ số tự nhiên)
CM a,$\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_m^k}{m}$ \geq $(\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m})^k$
b, $\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}}$ \geq $\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_m}}{m}$

Với đề em sửa thì anh hiểu là $ k \ ; \ n \in \{1,2,3, \cdots \} $ nhé .

$\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_m^k}{m}$ \geq $(\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m})^k$

• Trong trường hợp $ \displaystyle a_1+a_2+ \cdots +a_m =0 $ thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng .

• Trong trường hợp $ \displaystyle a_1+a_2+ \cdots +a_m \neq 0 $ .
  
  Đặt
  $$ x_i=\frac{a_i}{a_1+a_2+ \cdots a_m} \ ; \ i \in \{ 1,2, \cdots , m \} $$
  Lúc đó ta có
  $$ x_1+x_2+ \cdots + x_m=1 $$
  và
  $$ x_1 , x_2 , \cdots , x_m \ge 0 $$
  Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
  $$ \frac{x_1^{k}+x_2^{k}+ \cdots + x_m^{k}}{m} \ge \frac{1}{m^{k}} $$
  Hay là cần chứng minh
  $$ S=x_1^{k}+x_2^{k}+ \cdots + x_m^{k} \ge \frac{1}{m^{k-1}} $$
  Dùng bất đẳng thức AM-GM với $ \displaystyle k$ số không âm có
  $$ x_i^{k}+\frac{k-1}{m^k} \ge \frac{k x_i}{m^{k-1}} $$
  Suy ra
  $$S+\frac{k-1}{m^{k-1}} \ge \frac{k}{m^{k-1}} $$
  Hay
  $$ S \ge \frac{1}{m^{k-1}} $$
  Đó là điều cần chứng minh .

$\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}}$ \geq $\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_m}}{m}$

Dùng kết quả câu a, với $k=n \ ; \ b_i \ge 0$ có
$$ \frac{b_1^{n}+b_2^{n}+\cdots + b_{m}^{n}}{m} \ge \left( \frac{b_1+b_2+ \cdots + b_m}{m} \right)^{n} $$
Suy ra
$$ \sqrt[n]{\frac{b_1^{n}+b_2^{n}+\cdots + b_{m}^{n}}{m}} \ge \frac{b_1+b_2+ \cdots + b_m}{m} $$
Chọn $b_i=\sqrt[n]{a_i} \ ; \ i \in \{1,2,3, \cdots , m \}$ ta có ngay điều cần chứng minh .