CM Bất đẳng thức

[phuthuytocdo_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{3}$.
Tìm GTNN của biểu thức: $B=\sum \dfrac{1}{\sqrt{x(y+2z)}}$

 

[vansang02121998]

$\sum \dfrac{1}{\sqrt{x(y+2z)}} \ge \dfrac{9}{\sum \sqrt{x(y+2z)}} \ge \dfrac{9}{\sqrt{\sum x}.\sqrt{3\sum x}} = 3$

 

[braga]

Áp dụng $AM-GM$ ta có:
$$\sqrt{x(y+2z)}\le \dfrac{x+y+2z}{2}\implies \dfrac{1}{\sqrt{ x(y+2z)}}\ge \dfrac{2}{x+y+2z}$$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:
$$B\ge 2\sum \dfrac{1}{x+y+2z}$$
Theo $Cauchy-Shwarz$ thì:
$$\sum \dfrac{1}{x+y+2z}\ge \dfrac{9}{x+y+2z+2x+y+z+x+2y+z}=\dfrac{9}{4(x+y+z)}$$
Dó đó:
$$B\ge \dfrac{18}{4(x+y+z)}=\dfrac{18}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

@vansang02121998: chưa đọc kĩ nhưng hình như không tìm được dấu "="
Em có thể đổi $\sqrt{x(y+2z)} \le \dfrac{3x+y+2z}{2\sqrt{3}}$ thì bài làm sẽ chính xác

 

[phuthuytocdo_9x]

Áp dụng $AM-GM$ ta có:
$$\sqrt{x(y+2z)}\le \dfrac{x+y+2z}{2}\implies \dfrac{1}{\sqrt{ x(y+2z)}}\ge \dfrac{2}{x+y+2z}$$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:
$$B\ge 2\sum \dfrac{1}{x+y+2z}$$
Theo $Cauchy-Shwarz$ thì:
$$\sum \dfrac{1}{x+y+2z}\ge \dfrac{9}{x+y+2z+2x+y+z+x+2y+z}=\dfrac{9}{4(x+y+z)}$$
Dó đó:
$$B\ge \dfrac{18}{4(x+y+z)}=\dfrac{18}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

Từ phần áp dụng BDT thì chả hiểu gì hết pn có thể làm rõ hơn được k