cm bất đẳng thức

[deat_stock]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=[TEX]\frac{18}{\sqrt{2}}[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{\sqrt{y(x+z)}}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{\sqrt{z(y+x)}}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{1}{4}[/TEX]

 

[eye_smile]

Ta có: $\sqrt {x\left( {y + z} \right)} = \sqrt {x\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt 2 }} - x} \right)} \le \dfrac{{x + \dfrac{{18}}{{\sqrt 2 }} - x}}{2} = \dfrac{9}{{\sqrt 2 }}$
$ \to \dfrac{1}{{\sqrt {x\left( {y + z} \right)} }} \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{9}$
Tương tự , ta cũng cm được:$\dfrac{1}{{\sqrt {y\left( {x + z} \right)} }} \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{9}$
$\dfrac{1}{{\sqrt {z\left( {y + x} \right)} }} \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{9}$
Cộng vế các BĐT trên ,ta đươc: $\dfrac{1}{{\sqrt {x\left( {y + z} \right)} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {y\left( {z + x} \right)} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {z\left( {x + y} \right)} }} \ge 3.\dfrac{{\sqrt 2 }}{9} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{9} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} \ge \dfrac{1}{4}$

 

[harrypham]

PP. Mình nghĩ bạn ghi đề chưa chính xác, đề đúng nên là $$P= \dfrac{1}{ \sqrt{x(y+z)}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{y(x+z)}}+ \dfrac{1}{\sqrt{z(x+y)}} \ge \dfrac 12$$
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\sqrt{2x(y+z)}= \sqrt{2x \left( 9 \sqrt 2 -x \right) } \le \dfrac{ x+ 9 \sqrt 2}{2}$.
Do đó $\dfrac{1}{\sqrt{x(y+z)}} \ge \dfrac{ 2 \sqrt 2}{ x+ 9 \sqrt 2}$.
Tương tự thì $\dfrac{1}{ \sqrt{y(x+z)}} \ge \dfrac{2 \sqrt 2}{y+ 9 \sqrt 2}, \dfrac{1}{ \sqrt{z(x+y)}} \ge \dfrac{2 \sqrt 2}{z+ 9 \sqrt 2}$.
Như vậy $$ P \ge 2 \sqrt 2 \left( \dfrac{1}{x+ 9 \sqrt 2}+ \dfrac{1}{y+ 9 \sqrt 2}+ \dfrac{1}{ z+ 9 \sqrt 2} \right) \ge \dfrac{18 \sqrt 2}{x+y+z+ 27 \sqrt 2}= \dfrac 12 $$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z= 3 \sqrt 2$.