CM bất đẳng thức

[ma_vuong_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

với a.b.c>0 và [TEX]ab^2+bc^2+ca^2=3[/TEX].CMR:
[TEX]\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leq2(a^4+b^4+c^4)[/TEX]

 

[vy000]

Ta có: $(\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7})^3 \le 9(a+7+b+7+c+7) = 9(a+b+c+21)$ (1)

Lại có: $3(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)(ab^2+bc^2+ca^2)$
\Leftrightarrow $a^4+b^4+c^4 \ge a+b+c$

Mặt khác: $a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3 \ge ab^2+bc^2+ca^2 = 3$

\Rightarrow $7(a^4+b^4+c^4) + a^4 + b^4 + c^4 \ge 21+a+b+c $

Lại có $(a^4+b^4+c^4)^2 \ge 9$

\Leftrightarrow $8(a^4+b^4+c^4)^3 \ge 9(a+b+c+21)$ (2)

Từ (1);(2) ta có đpcm