CM bất đẳng thức

[parabolpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu thấy quen quen mà giải ko ra
Nhờ mọi người giải giúp

Cho a, b, c là 3 số không âm: [TEX]a^2 + b^2 +c^2 =1[/TEX]
CMR:
[TEX] \frac{1}{1-ab}+ \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \leq \frac{9}{2} [/TEX]

 

[duynhan1]

Biến đổi BĐT thành: $$\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{ab}{1-ab} \le \fra$$
Ta đi chứng minh 1 BĐT mạnh hơn là: $$\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2} \le \frac34$$
Mặt khác, theo BĐT $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có: $$\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2} \le \sum\limits_{cyc} \frac14 \left( \frac{(a+b)^2}{a^2+c^2+ b^2+c^2} \right) \le \sum\limits_{cyc} \frac14 \left( \frac{a^2}{a^2+c^2} + \frac{b^2}{b^2+c^2} \right) = \frac34 \text{(điều phải chứng minh)}$$

 

[parabolpro]

Biến đổi BĐT thành: [TEX] \displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{ab}{1-ab} \le \frac32[/TEX] (1)
Ta đi chứng minh 1 BĐT mạnh hơn là: [TEX]\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{ab}{a^2+b^2+2c^2} \le \frac34[/TEX] (2)

.....................
Cho hỏi tại sao từ BDT (1) tương đương vs cm BDT (2)

 

[duynhan1]

.....................
Cho hỏi tại sao từ BDT (1) tương đương vs cm BDT (2)

2 BĐT không tương đương với nhau, BĐT (2) mạnh hơn BĐT (1), thay (1) bằng $a^2+b^2+c^2$ và áp dụng $a^2+b^2 \ge 2ab$ ta dẫn đến chứng minh BĐT (2).