cm bất đẳng thức

[mickey_134]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)C/m rằng nếu $2x+4y=1$ thì [tex]x^2+y^2\geq\frac{1}{20}[/tex]
2)Cho $x,y>0$ và $x+y=1$.Cm [tex]8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq5.[/tex]

 

[changruabecon]

1)C/m rằng nếu $2x+4y=1$ thì [tex]x^2+y^2\geq\frac{1}{20}[/tex]
2)Cho $x,y>0$ và $x+y=1$.Cm [tex]8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq5.[/tex]

1.Áp dụng BĐT buniacôpxki ,tổng quát:
( [TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])
\geq[TEX](ax+by)^2[/TEX]
Áp dụng BĐT bunhiacôpxki cho 4 số 2,4,x,y ta có:

([TEX]2^2[/TEX]+[TEX]4^2[/TEX])([TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])\geq[TEX](2x+4y)^2[/TEX]
\Leftrightarrow20.([TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])\geq1
\Leftrightarrow[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX]\geq[TEX]\frac{1}{20}[/TEX]
Bạn nhớ c/m BĐT bunhi trước khi c/m BĐT(1) nhé

 

[vansang02121998]

Áp dụng bất đẳng thức $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}$, ta có

$A=8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$

$A \geq 8(x^4+y^4)+\frac{1}{\frac{(x+y)^2}{4}}$

$A \geq 4.2(x^4+y^4)+\frac{4}{(x+y)^2}$

$A \geq 4.2(x^4+y^4)+4$

Áp dụng bất đẳng thức $2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$, ta có

$A \geq 2^2(x^2+y^2)^2+4$

$A \geq (x+y)^4+4$

$A \geq 1+4$

$A \geq 5$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=0,5$