CM bất đảng thức theo phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

[ngovietthang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \geq 1[/TEX](Gợi ý :[TEX] (a+b+1)(a + b + c^2) \geq (a+b+c)^2[/TEX])
CMR: [TEX]a+b+c \geq ab +bc+ca[/TEX]
Câu 2. Cho a,b,c > 0 t/m abc =2 (Gợi ý : [TEX]3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a+b+c)^2 and (a^2 + b^2 + c^2)^2 \leq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)[/TEX])
CMR: [TEX]a^3 + b^3 + c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b}[/TEX])
Câu 3. Cho x,y,z > 0
CMR: [TEX]4(xy +yz +zx) \leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}[/TEX]
(Trích đề thi chuyên VĨNH PHÚC)
Câu 4. Cho a,b,c >0 t/m [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
CMR: [TEX]\sqrt{a^2 + b^2c^2} + \sqrt{b^2 + c^2a^2} + \sqrt{c^2 + a^2b^2} \geq ab +bc +ca +1[/TEX]
Câu 5. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 3[/TEX]
Tim Min của [TEX]A = \frac{x^2 +1}{x} + \frac{y^2 + 1}{y} + \frac{z^2+1}{z} - \frac{1}{x+y+z}[/TEX]
Câu 6. Cho a,b,c >0 t/m abc =1.
Tìm MAX [TEX]\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^5 - b^2 +3bc +6}} + \frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ca+6}}[/TEX]
Câu 7.
Tim MIN của P
[TEX]P=\sqrt{2x^2 + 2y^2 -2x+2y+1} + \sqrt{2x^2+2y^2+2x-2y+1} + \sqrt{2x^2 + 2y^2 + 4x + 4y +4}[/TEX]
Từ điển Việt Anh PDF
Từ diển Anh Việt PDF

 

[locxoaymgk]

Câu 1. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \geq 1[/TEX](Gợi ý :[TEX] (a+b+1)(a + b + c^2) \geq (a+b+c)^2[/TEX])
CMR: [TEX]a+b+c \geq ab +bc+ca[/TEX]
Câu 2. Cho a,b,c > 0 t/m abc =2 (Gợi ý : [TEX]3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a+b+c)^2 and (a^2 + b^2 + c^2)^2 \leq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)[/TEX])
CMR: [TEX]a^3 + b^3 + c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b}[/TEX])
Câu 3. Cho x,y,z > 0
CMR: [TEX]4(xy +yz +zx) \leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}[/TEX]
(Trích đề thi chuyên VĨNH PHÚC)
Câu 4. Cho a,b,c >0 t/m [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
CMR: \sqrt{a^2 + b^2c^2} + \sqrt{b^2 + c^2a^2} + \sqrt{c^2 + a^2b^2} \geq ab +bc +ca +1
Câu 5. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 3[/TEX]
Tim Min của [TEX]A = \frac{x^2 +1}{x} + \frac{y^2 + 1}{y} + \frac{z^2+1}{z} - \frac{1}{x+y+z}[/TEX]
Câu 6. Cho a,b,c >0 t/m abc =1.
Tìm MAX [TEX]\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^5 - b^2 +3bc +6}} + \frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ca+6}}[/TEX]
Câu 7.
Tim MIN của P
[TEX]P=\sqrt{2x^2 + 2y^2 -2x+2y+1} + \sqrt{2x^2+2y^2+2x-2y+1} + \sqrt{2x^2 + 2y^2 + 4x + 4y +4}[/TEX]
Từ điển Việt Anh PDF
Từ diển Anh Việt PDF

Câu 2:
Theo BDT bunhiacopxki ta có:

[TEX] (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2 \leq 2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=\frac{2(a^2+b^2+c^2)((a+b+c)^2}{a+b+c} \leq \frac{6(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c)[/TEX]

[TEX] VT^2 \leq \frac{6(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{a+b+c}=6(a^3+b^3+c^3) \leq(a^3+b^3+c^3)^2.[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq a^3+b^3+c^3.[/TEX]

Câu 5:
Ta có[TEX] VT=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y+z}\geq 2+2+2-\frac{1}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2}}=6-\frac{1}{3}.[/TEX]

 

[tuyn]

Câu 4. Cho a,b,c >0 t/m [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
CMR: \sqrt{a^2 + b^2c^2} + \sqrt{b^2 + c^2a^2} + \sqrt{c^2 + a^2b^2} \geq ab +bc +ca +1

Ta có:
[TEX]a^2+b^2c^2=a^2(a^2+b^2+c^2)+b^2c^2=a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \geq \frac{1}{4}(a^2+ab+bc+ca)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2c^2} \geq \frac{1}{2}(a^2+ab+bc+ca)[/TEX]
Tương tự với các căn thức còn lại.
Cuối cùng: cộng vế với vế các BĐT ta có ĐPCM

 

[bboy114crew]

Câu 1. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \geq 1[/TEX](Gợi ý :[TEX] (a+b+1)(a + b + c^2) \geq (a+b+c)^2[/TEX])
CMR: [TEX]a+b+c \geq ab +bc+ca[/TEX]
Câu 2. Cho a,b,c > 0 t/m abc =2 (Gợi ý : [TEX]3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a+b+c)^2 and (a^2 + b^2 + c^2)^2 \leq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)[/TEX])
CMR: [TEX]a^3 + b^3 + c^3 \geq a\sqrt{b+c} + b\sqrt{c+a} + c\sqrt{a+b}[/TEX])
Câu 3. Cho x,y,z > 0
CMR: [TEX]4(xy +yz +zx) \leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}[/TEX]
(Trích đề thi chuyên VĨNH PHÚC)
Câu 4. Cho a,b,c >0 t/m [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
CMR: \sqrt{a^2 + b^2c^2} + \sqrt{b^2 + c^2a^2} + \sqrt{c^2 + a^2b^2} \geq ab +bc +ca +1
Câu 5. Cho a,b,c > 0 t/m [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 3[/TEX]
Tim Min của [TEX]A = \frac{x^2 +1}{x} + \frac{y^2 + 1}{y} + \frac{z^2+1}{z} - \frac{1}{x+y+z}[/TEX]
Câu 6. Cho a,b,c >0 t/m abc =1.
Tìm MAX [TEX]\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^5 - b^2 +3bc +6}} + \frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ca+6}}[/TEX]
Câu 7.
Tim MIN của P
[TEX]P=\sqrt{2x^2 + 2y^2 -2x+2y+1} + \sqrt{2x^2+2y^2+2x-2y+1} + \sqrt{2x^2 + 2y^2 + 4x + 4y +4}[/TEX]
Từ điển Việt Anh PDF
Từ diển Anh Việt PDF

Câu 1:

]Mò cả đêm mới thêm 1 cách nhờ phương pháp của anh Phạm Kim Hùng...

Câu 6:Bạn hãy chứng minh:

Ta có:[TEX]\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} \leq \frac{1}{\sqrt{3(a+ab+1)}}[/TEX]
Làm tương tự rồi cộng lại ta được:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^5 - b^2 +3bc +6}} + \frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ca+6}} \leq \frac{1}{\sqrt{3(a+ab+1)}}+ \frac{1}{\sqrt{3(b+cb+1)}}+ \frac{1}{\sqrt{3(c+ac+1)}} \leq \frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+cb+1}+\frac{1}{c+ac+1}=1[/TEX]

 

[bboy114crew]

C
Câu 3. Cho x,y,z > 0
CMR: [TEX]4(xy +yz +zx) \leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}[/TEX]
(Trích đề thi chuyên VĨNH PHÚC)

Típ câu này!
Áp dụng BDT Cauchy-schwarz:
Ta có:
[TEX]VP=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}[/TEX]
[TEX]=\sum (x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)} \geq \sum(x+y)(z+\sqrt{xy})[/TEX]
Ta sẽ CM:
[TEX]\sum(x+y)(z+\sqrt{xy}) \geq 4(xy +yz +zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum(x+y)\sqrt{xy} \geq 2(xy +yz +zx)[/TEX]
BDT này đúng theo AM-GM!

 

[ngovietthang]

theo chủ đề thì phải có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bạn locxoaymgk có 2 bài sử dụng Bunhiacopxki
Bài 5
[TEX](1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \leq 3[/TEX]
[TEX] \Rightarrow -\frac{1}{x+y+z} \leq -\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]x+y+z+\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 6[/TEX]
2 bất phương trình ngược dấu, không thể cộng được
Bài giải
[TEX](x+y+z)A = (x+y+z)(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y} + \frac{z^2+1}{z})[/TEX]
[TEX](x+y+z)A = (\frac{x^2+1}{x})(x+y+z) + (\frac{y^2+1}{y})(x+y+z) + (\frac{z^2+1}{z})(x+y+z)[/TEX]
[TEX](x+y+z)A = (1+\frac{y+z}{x})(x^2+1) + (1+ \frac{x+z}{y})(y^2 +1) + (1+\frac{z^2 +1}{z})(z^2 + 1)[/TEX]
[TEX](x+y+z)A = x^2 +y^2+z^2+3-1+ \frac{(x^2+1)(y+z)}{x} + \frac{(y^2+1)(x+z)}{y} +\frac{(z^2+1)(x+y)}{z}[/TEX]
[TEX](x+y+z)A \geq 5 + 4(x+y+z)[/TEX](theo bất đẳng thức CôSi)
[TEX] A \geq 4 + \frac{5}{x+y+z}[/TEX]
[TEX](1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \leq 3[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{x+y+z} \geq \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{17}{3}[/TEX]

 

[ngovietthang]

Bài cua Tuyn .Câu 4
Ta có
[TEX]a^2+b^2c^2 = a^2(b^2+c^2+a^2) + c^2=(a^2 + c^2)(a^2+b^2) \geq (a+bc)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2c^2} \geq a^2 + bc[/TEX]
CMTT
[TEX]\Rightarrow DPCM[/TEX]