CM: bất đẳng thức :[TEX](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/TEX]

[vozdanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]

 

[janbel]

[TEX](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]

$$BDT \iff 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2 \ge 2ab+2ac+2ad+2ae \\ \iff (a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(a-e)^2+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge 0 \\ luon-dung$$
Dấu "=" $\iff a=b=c=d=e=0$

 

[hoangtubongdem5]

[TEX](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]

Bạn theo đẳng thức AM-GM:
Ta có
[TEX] a^2 + b^2 \geq 2ab[/TEX]
Và [TEX] a^2 + 1 \geq 2a [/TEX]
[TEX] => (a^2 + b^2 )(a^2 + 1 ) \geq 4a^2b[/TEX]
Dâu = xảy ra khi a = b = 1

 

[janbel]

[TEX](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]

Áp dụng AM-GM ta có:
$$a^2+b^2 \ge 2ab \\ a^2+1 \ge 2a$$
$$\to (a^2+b^2)(a^2+1) \ge 4a^2b$$
Dấu "=" $\iff a=b=1$


.............................................................

 

[braga]

$$BDT \iff 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2 \ge 2ab+2ac+2ad+2ae \\ \iff (a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(a-e)^2+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge 0 \\ luon-dung$$
Dấu "=" $\iff a=b=c=d=e=0$



$$\text{BDT}\iff (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2\ge 0$$

..........................................................................

 

[popstar1102]

c/m [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]

\Leftrightarrow4$a^2$+4$b^2$+4$d^2$+4$e^2$-4(ab+ac+ad+ae) \geq 0

\Leftrightarrow$(a-2b)^2$+$(a-2c)^2$+$(a-2d)^2$+$(a-2e)^2$ \geq 0 (bất đẳng thức đúng )

\Rightarrowđpcm

..........................................................................