CM bất đẳng thức lượng giác

[songjoongki97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

sinA+sinB+sinC\leq3sin((A+B+C)/3)
(0\leqA,B,C\leqpi)
khi nào đẳng thức xảy ra?
giúp em bài này vs?

 

[zzvjpzz]

trc hết cm: sina + sinb ≤ 2sin(a + b)/2
VT = 2sin(a+ b)/2.cos(a - b)/2
Do a ; b ; c Є [0 ; π] -> sin(a + b)/2 ≥ 0 ; cos(a - b)/2 ≤ 1
-> 2sin(a + b)/2.cos(a - b)/2 ≤ 2sin(a + b)/2 ( VP)
Dấu = xảy ra <=> cos(a - b)/2 = 1 <=> a = b
sinA+sinB+sinC3sin((A+B+C)/3)
áp dụng sina + sinb ≤ 2sin(a + b)/2
sinC + sin(a + b + c)/3 ≤ 2.sin[ c + (a + b + c)/3 ]/2
-> sina + sinb + sinc + sin(a + b + c)/3 ≤ 2sin(a + b)/2 + 2.sin[c + (a + b + c)/3]/2
≤ 2.[ sin(a + b)/2 + 2.sin[c + (a + b + c)/3]/2 ]
≤ 2.2.sin[ (a + b)/2 + [c + (a + b + c)/3]/2 ]/2 = 4sin(a + b + c)/3
-> sina + sinb + sinc + sin(a + b + c)/3 ≤ 4sin(a + b+ c)/3
-> sina + sinb + sinc ≤ 3sin(a + b + c)/3
- Dấu = xảy ra <=> a = b = c

 

[noinhobinhyen]

Xét $f(A) = sinA-\dfrac{1}{2}(A-\dfrac{\pi}{3})-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$f'(A) = cosA-\dfrac{1}{2}$

pt $f'(A) = 0 \Leftrightarrow A=\dfrac{\pi}{3}$

hàm f(A) đồng biến trên $ (0; \dfrac{\pi}{3})$ và nghịch biến trên $(\dfrac{\pi}{3}; \pi)$

do đó $f(A) \leq f(\dfrac{\pi}{3}) = 0$

$\Rightarrow sinA \leq \dfrac{1}{2}(A-\dfrac{\pi}{3})+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

như vậy ta có

$sinA+sinB+sinC \leq \dfrac{1}{2}(A+B+C-\pi)+\dfrac{3\sqrt{3}}{2} =\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu [=] xảy ra khi $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$