CM: $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$

[janbel]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\fbox{1}$ Tìm $a;b \in \mathbb{N}$ biết: $(a,b)+[a,b]=55$

$\fbox{2}$ Chứng minh rằng với $a;b$ là các số tự nhiên. Chứng minh:
$$(a,b)=(a+b; [a,b])$$
$\fbox{3}$ Chứng minh rằng với $a>1$ thì ta luôn có $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$

 

[braga]

Gọi $d =(a,b)$ ta đặt $d=\dfrac{a}{m}$ và $e =[a,b]$ ta đặt $e=a.n$ với m,n nguyên dương và $a<55$

Từ đó ta có $a(n+\dfrac{1}{m})=55a(n+\dfrac{1}{m})=55\iff \dfrac{a}{m}.(mn+1)=55\Leftrightarrow d(mn+1)=55$
Do đó $mn+1$ là ước của $55$ do đó $ mn +1$ thuộc tập ${5,11,55}$
từ đó ta có $mn =4,10,54$
mà $mn=\dfrac{e}{d}$ do đó ta tính đc tỉ số e và d và ta lại có $d+e=55$


Nguồn : VMF