CM: $(a+b)(a+c)(b+c) \ge a^3b^3c^3$

[sangbinbin_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a>0 , b>0 , c>0 , a+b+c=4
Chứng minh [tex](a+b)(a+c)(b+c) \geq a^3b^3c^3[/tex]

 

[phamrong]

Thấy số 4 là nghi nghi rồi. Áp dụng BĐT: [TEX](a+b)^2\geq4ab[/TEX].Ta có:
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq4\sqrt[]{ab}4\sqrt[]{bc}4\sqrt[]{ca}=(a+b+c)^3abc[/TEX][TEX]\geq(3\sqrt[3]{abc})^3abc=27a^2b^2c^2[/TEX].Xét hiệu:
[TEX]27a^2b^2c^2-a^3b^3c^3=a^2b^2c^2(27-abc)[/TEX](1).Mà a+b+c=4 nên abc lớn nhất bằng [TEX]\frac{64}{27}<27[/TEX]nên (1) luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Suy ra
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3b^3c^3[/TEX].Đẳng thức xảy ra khi trong a,b,c có 2 số bằng 0.​