chuyên đề khó chiêu mộ người tài

[turtix]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số y= X3 - 3X
Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y=m(X+1)+2 luôn cắt đò thị (c) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (c) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (c) tại N, P vuông góc với nhau

 

[kimxakiem2507]

Phương trình hoành độ giao điểm của[TEX] (d) [/TEX]và [TEX](C):[/TEX]
[TEX]x^3-(3+m)x-m-2=0\Leftrightarrow{(x+1)(x^2-x-m-2)=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[x=-1\\x^2-x-m-2=0\ \ (1)[/TEX]
Vậy [TEX]\forall{m \ \ (d)[/TEX] cắt [TEX](C)[/TEX] tại [TEX]M(-1,2)[/TEX]

Để [TEX](d)[/TEX] cắt [TEX](C)[/TEX] tại ba điểm phân biệt [TEX]M,N,P[/TEX] thì [TEX](1)[/TEX] phải có hai nghiệm phân biệt [TEX]\neq{ -1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{m\neq0\\m>-\frac{9}{4}\ \ (2)[/TEX]
[TEX]N(a,a^3-3a),P(b,b^3-3b) \ \ (a\neq{b)[/TEX]

Đề hai tiếp tuyến tại[TEX] N,P[/TEX] vuông góc với nhau thì :[TEX]y^'(a)y^'(b)=-1\Leftrightarrow{9(a^2-1)(b^2-1)=-1\Leftrightarrow{9[(ab)^2+2ab-(a+b)^2]=-10[/TEX]
mặt khác [TEX]\left{a+b=1\\ab=-m-2[/TEX][TEX]\Rightarrow{9(ab)^2+18ab+1=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{ab=\frac{-3+2\sqrt2}{3}\\ab=\frac{-3-2\sqrt2}{3}[/TEX]hay [TEX]\left[m=-\frac{3+2\sqrt2}{3}\\m=\frac{2\sqrt2-3}{3}[/TEX] thoả [TEX](2)[/TEX]