[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bất đẳng thức Hoán vị là một bất đẳng thức có ứng dụng nhiều và có thể xử lí các bài toán cồng kềnh một cách dễ dàng
Và nó được phát biểu như sau: Cho 2 dãy đơn điệu tăng [imath]a_1,a_2,..,a_n[/imath] và [imath]b_1,b_2,...,b_n[/imath] . Giả sử [imath](i_1,i_2,..,i_n)[/imath] là một hoán vị của [imath](1,2,3,...,n)[/imath] ta luôn có
[math]a_1b_1+a_2b_2+..+a_nb_n \ge a_1b_{i_1}+ a_2b_{i_2}+ ...+ a_nb_{i_n}(_1)[/math]Ngoài ra nếu 2 dãy [imath]a_1,a_2,..,a_n[/imath] và [imath]b_1,b_2,...,b_n[/imath] đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi chiều
Chứng minhh:
Ta sẽ đi chứng minh trường hợp dãy đơn điệu tăng , chiều còn lại chứng minh tương tự
Sử dụng khai triển Abel kết hợp biến đổi tương đương ta có:
[math](_1)\Leftrightarrow a_1(b_1-b_{i_1})+a_2(b_2-b_{i_2})+..+a_n(b_n-b_{i_n})\geq 0[/math][math]\Leftrightarrow (a_1-a_2)(b_1-b_2)+(a_2-a_3)(b_1+b_2-b_{i_1}-b_{i_2})+..+a_n(b_1+b_2+..+b_n-b_{i_1}-b_{i_2}-..-b_{i_n})\geq 0[/math]
Hiển nhiên đúng do [imath](a_n) ;(b_n)[/imath] là 2 dãy đơn điệu tăng
__
Bất đẳng thức Hoán vị còn nhiều cách chứng minh khác nhưng nói chung đều mang tính số học hoặc phức tạp hơn.Bất đẳng thức Hoán vị là một bất đẳng thức rất mạnh. Nó có thể suy ra trực tiếp bất đẳng thức [imath]AM-GM[/imath] như sau:
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số thực không âm [imath]a_1,..,a_n[/imath] ta luôn có:
[math]a_1+a_2+..+a_n \ge n \sqrt[n]{a_1a_2..a_n}[/math]
Chứng minhh:
Hiển nhiên bất đẳng thức tương đương với
[math]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+..+\dfrac{x_n}{x_1}\geq n[/math]Xét bất đẳng thức hoán vị với 2 dãy đơn điệu ngược chiều sau [imath]\left\{\begin{matrix} x_1,x_2,..,x_n\\ \dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2},..,\dfrac{1}{x_n} \end{matrix}\right.[/imath]
Khi đó
[math]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+..+\dfrac{x_n}{x_1}\geq \dfrac{x_1}{x_1}+\dfrac{x_2}{x_2}+..+\dfrac{x_n}{x_n}=n (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 2: (IMO 1984 P3) Giả sử [imath]a,b,c[/imath] là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng
[math]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0[/math]
Chứng minhh:
Bất đẳng thức tương đương
[math]a^3b+b^3c+c^3a \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \le \dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{a^2+bc}{a}+\dfrac{b^2+ca}{b}+\dfrac{c^2+ab}{c} \le \dfrac{a^2+bc}{c}+\dfrac{b^2+ca}{a}+\dfrac{c^2+ab}{b}[/math]Do [imath]a,b,c[/imath] là 3 cạnh của 1 tam giác nên 2 bộ sau ngược chiều [imath]\left\{\begin{matrix} a^2+bc;b^2+ca;c^2+ab\\ \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \end{matrix}\right.[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức hoán vị ta được điều phải chứng minh
Ví dụ 3: (IMO 1978) Cho dãy số nguyên dương phân biệt [imath]a_1;a_2,..., a_n[/imath] . Chứng minh rằng
[math]\sum_{i=1}^{n} \dfrac{a_i}{i^2}\geq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}[/math]
Chứng minhh:
Sắp xếp [imath]a_1;a_2,..., a_n[/imath] thành dãy đơn điệu tăng [imath]x_1;..;x_n[/imath] . Theo bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy ngược chiều ta có
[math]L.H.S \ge \sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{i^2}[/math]Vì dãy [imath](x_n)[/imath] là dãy số nguyên dương đơn điệu tăng nên [imath]x_i \ge i \forall i=\overline{1,n}[/imath]
Vậy [math]L.H.S \ge \sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{i^2} \geq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 4: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn [imath]abc=1[/imath]. Chứng minh rằng
[math]a^2b+b^2c+c^2a \ge a+b+c[/math]
Chứng minhh:
Đặt [imath](a,b,c)=\left ( \dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right )[/imath] với [imath]x,y,z[/imath] là các số thực dương
Bất đẳng thức trở thành [math]x^3+y^3+z^3 \ge x^2y+y^2z+z^2x[/math]Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức hoán vị
Ví dụ 5: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn [imath]a+b+c=1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}+\dfrac{c+ab}{a+b} \geq 2[/math]
Chứng minhh:
Đặt [imath](a+b;b+c;c+a)=(x;y;z)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 bộ đơn điệu tăng [imath]\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\\ yz;zx;xy \end{matrix}\right.[/imath] ta có
[math]\sum \dfrac{a+bc}{b+c}=\sum \dfrac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c}=\sum \dfrac{xy}{z} \ge \sum \dfrac{xy}{y}=x+y+z=2 (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 5: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương. Chứng minh rằng:
[math]\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ac}{a+c}+\dfrac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c[/math]
Ví dụ 6: Cho [imath]x,y,z[/imath] là các số thực dương. Chứng minh rằng:
[math]x^3y+y^3z+z^3x \ge xyz(x+y+z)[/math]
Chứng minhh:
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy ngược chiều [imath]\left\{\begin{matrix} x^2,y^2,z^2\\ \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \end{matrix}\right.[/imath] ta được
[math]x^3y+y^3z+z^3x =xyz\left ( \dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y} \right )\geq xyz\left ( \dfrac{x^2}{x}+\dfrac{y^2}{y}+\dfrac{z^2}{z} \right )=xyz(x+y+z)(Q.E.D)[/math]
Ngoài ra câu này còn có thể sử dụng [imath]C-S[/imath] hoặc [imath]A-G[/imath]
Hy vọng qua bài viết này các bạn có thể sử dụng bất đẳng thức Hoán vị 1 cách thuần thục hơn
Tài liệu tham khảo:
[imath]\cdot[/imath]Sáng tạo Bất Đẳng Thức - Phạm Kim Hùng
[imath]\cdot[/imath]AoPS
Và nó được phát biểu như sau: Cho 2 dãy đơn điệu tăng [imath]a_1,a_2,..,a_n[/imath] và [imath]b_1,b_2,...,b_n[/imath] . Giả sử [imath](i_1,i_2,..,i_n)[/imath] là một hoán vị của [imath](1,2,3,...,n)[/imath] ta luôn có
[math]a_1b_1+a_2b_2+..+a_nb_n \ge a_1b_{i_1}+ a_2b_{i_2}+ ...+ a_nb_{i_n}(_1)[/math]Ngoài ra nếu 2 dãy [imath]a_1,a_2,..,a_n[/imath] và [imath]b_1,b_2,...,b_n[/imath] đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi chiều
Chứng minhh:
Ta sẽ đi chứng minh trường hợp dãy đơn điệu tăng , chiều còn lại chứng minh tương tự
Sử dụng khai triển Abel kết hợp biến đổi tương đương ta có:
[math](_1)\Leftrightarrow a_1(b_1-b_{i_1})+a_2(b_2-b_{i_2})+..+a_n(b_n-b_{i_n})\geq 0[/math][math]\Leftrightarrow (a_1-a_2)(b_1-b_2)+(a_2-a_3)(b_1+b_2-b_{i_1}-b_{i_2})+..+a_n(b_1+b_2+..+b_n-b_{i_1}-b_{i_2}-..-b_{i_n})\geq 0[/math]
Hiển nhiên đúng do [imath](a_n) ;(b_n)[/imath] là 2 dãy đơn điệu tăng
__
Bất đẳng thức Hoán vị còn nhiều cách chứng minh khác nhưng nói chung đều mang tính số học hoặc phức tạp hơn.Bất đẳng thức Hoán vị là một bất đẳng thức rất mạnh. Nó có thể suy ra trực tiếp bất đẳng thức [imath]AM-GM[/imath] như sau:
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số thực không âm [imath]a_1,..,a_n[/imath] ta luôn có:
[math]a_1+a_2+..+a_n \ge n \sqrt[n]{a_1a_2..a_n}[/math]
Chứng minhh:
Hiển nhiên bất đẳng thức tương đương với
[math]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+..+\dfrac{x_n}{x_1}\geq n[/math]Xét bất đẳng thức hoán vị với 2 dãy đơn điệu ngược chiều sau [imath]\left\{\begin{matrix} x_1,x_2,..,x_n\\ \dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2},..,\dfrac{1}{x_n} \end{matrix}\right.[/imath]
Khi đó
[math]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+..+\dfrac{x_n}{x_1}\geq \dfrac{x_1}{x_1}+\dfrac{x_2}{x_2}+..+\dfrac{x_n}{x_n}=n (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 2: (IMO 1984 P3) Giả sử [imath]a,b,c[/imath] là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng
[math]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0[/math]
Chứng minhh:
Bất đẳng thức tương đương
[math]a^3b+b^3c+c^3a \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \le \dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{a^2+bc}{a}+\dfrac{b^2+ca}{b}+\dfrac{c^2+ab}{c} \le \dfrac{a^2+bc}{c}+\dfrac{b^2+ca}{a}+\dfrac{c^2+ab}{b}[/math]Do [imath]a,b,c[/imath] là 3 cạnh của 1 tam giác nên 2 bộ sau ngược chiều [imath]\left\{\begin{matrix} a^2+bc;b^2+ca;c^2+ab\\ \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \end{matrix}\right.[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức hoán vị ta được điều phải chứng minh
Ví dụ 3: (IMO 1978) Cho dãy số nguyên dương phân biệt [imath]a_1;a_2,..., a_n[/imath] . Chứng minh rằng
[math]\sum_{i=1}^{n} \dfrac{a_i}{i^2}\geq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}[/math]
Chứng minhh:
Sắp xếp [imath]a_1;a_2,..., a_n[/imath] thành dãy đơn điệu tăng [imath]x_1;..;x_n[/imath] . Theo bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy ngược chiều ta có
[math]L.H.S \ge \sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{i^2}[/math]Vì dãy [imath](x_n)[/imath] là dãy số nguyên dương đơn điệu tăng nên [imath]x_i \ge i \forall i=\overline{1,n}[/imath]
Vậy [math]L.H.S \ge \sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_i}{i^2} \geq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 4: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn [imath]abc=1[/imath]. Chứng minh rằng
[math]a^2b+b^2c+c^2a \ge a+b+c[/math]
Chứng minhh:
Đặt [imath](a,b,c)=\left ( \dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right )[/imath] với [imath]x,y,z[/imath] là các số thực dương
Bất đẳng thức trở thành [math]x^3+y^3+z^3 \ge x^2y+y^2z+z^2x[/math]Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức hoán vị
Ví dụ 5: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn [imath]a+b+c=1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}+\dfrac{c+ab}{a+b} \geq 2[/math]
Chứng minhh:
Đặt [imath](a+b;b+c;c+a)=(x;y;z)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 bộ đơn điệu tăng [imath]\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\\ yz;zx;xy \end{matrix}\right.[/imath] ta có
[math]\sum \dfrac{a+bc}{b+c}=\sum \dfrac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c}=\sum \dfrac{xy}{z} \ge \sum \dfrac{xy}{y}=x+y+z=2 (Q.E.D)[/math]
Ví dụ 5: Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương. Chứng minh rằng:
[math]\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ac}{a+c}+\dfrac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c[/math]
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy [imath]\left\{\begin{matrix} a^2,b^2,c^2\\ \dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{c+a};\dfrac{1}{a+b} \end{matrix}\right.[/imath]
Ví dụ 6: Cho [imath]x,y,z[/imath] là các số thực dương. Chứng minh rằng:
[math]x^3y+y^3z+z^3x \ge xyz(x+y+z)[/math]
Chứng minhh:
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy ngược chiều [imath]\left\{\begin{matrix} x^2,y^2,z^2\\ \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \end{matrix}\right.[/imath] ta được
[math]x^3y+y^3z+z^3x =xyz\left ( \dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y} \right )\geq xyz\left ( \dfrac{x^2}{x}+\dfrac{y^2}{y}+\dfrac{z^2}{z} \right )=xyz(x+y+z)(Q.E.D)[/math]
Ngoài ra câu này còn có thể sử dụng [imath]C-S[/imath] hoặc [imath]A-G[/imath]
Hy vọng qua bài viết này các bạn có thể sử dụng bất đẳng thức Hoán vị 1 cách thuần thục hơn
Tài liệu tham khảo:
[imath]\cdot[/imath]Sáng tạo Bất Đẳng Thức - Phạm Kim Hùng
[imath]\cdot[/imath]AoPS
