Chuyên đề dãy số có quy luật

[anh_son]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chuyên đề dãy số có quy luật​

Xuất phát từ một bài Toán trong sách giáo khoa như sau:

Tính:

Ta thấy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau:

Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp.

Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa.

Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là:

- Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều.

- Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều.

Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành

Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều.

Bài 1: Tính

Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng:

có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là

và

, (vì tổng trên chỉ thiếu số

) vậy ta viết tổng B như sau:

Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có

cặp nên tổng đó là:

Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.

Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

...

+

----------------------------------------

Bài 2: Tính

Lời giải:

Cách 1: Từ

đến

có 5

số chẵn và

số lẻ nên tổng trên có

số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có

(Tổng trên có 250 cặp số).

Cách 2: Ta thấy:

...

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

+

--------------------------------------

.


Bài tập:

Bài 1: Tính

Bài 2: Tính

a,

b,

c,

Bài 3: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn:

a,

b,

c,

Bài 4: Chứng minh với mọi n là số tự nhiên thì:


a)

b)

Bài 5: Chứng minh rằng:

thì:

Bài 6: Cho

.

Chứng minh:

Nguồn: http://diendankienthuc.net

 

[haibara4869]

tính tổng dãy số

tính tổng gồm 2011 số hạng:
1\frac{a}{b}(1^4+1^2+1) + 2\frac{a}{b}(2^4+2^2+1) + 3\frac{a}{b}(3^4+3^2+1) +...+ n\frac{a}{b}(n^4+n^2+1)+...+2011\frac{a}{b}(2011^4+2011^2+1)
(làm cho mình với nha)