Chuyên đề chứng minh đẳng thức có điều kiện

[manhdn98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xin post 1 số bài chứng minh đẳng thức có điều kiện như sau, mọi người cùng làm và nhận xét: (Ko biết gõ latex mem nào biết chỉ zùm)
1.Cho a,b khác 1; c khác -1;d thỏa mãn ac-a-c=b^2-2b; bd-b-d=c^2-2c. Chứng minh rằng: ad+b+c=bc+a+d
2.Cho các số thực a,b,x,y thỏa mãn x^2+y^2=1 và x^4/a + y^4/b = 1/(a+b). Chứng minh rằng: (x^2n)/(a^n)+(y^2n)/(b^n)=2/(a+b)^n

3.Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và abc khác 0 Chứng minh rằng: 1/(b^2+c^2-a^2)+1/(c^2+a^2-b^2)+1/(a^2+b^2-c^2) =0

4.Giả sử ax+by+cz=0. Chứng minh rằng: (ax^2+by^2+cz^2)/{bc(y-z)^2+ac(z-x)^2+ab(x-y)^2} =1/(a+b+c)

5.Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 =3(abc)^2. Chứng minh rằng: (1+ a/b)(1+ b/c)(1+ c/a)=8

6. Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1 và $\dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{c^2} + \dfrac{c}{a^2} = \dfrac{b^2}{a} +\dfrac{c^2}{b} +\dfrac{a^2}{c}$. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ.

7. Cho a,b,c là 3 số nguyên khác 0 thỏa mãn: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$. Chứng minh rằng tích abc là lập phương của 1 số nguyên.
P/s:Ko biết gõ latex có gì sai đề thì sorry
:|

Ai đăng kí làm bài nào kêu tớ sửa choa nào. rối mắt quá. Thông cảm cho MOD bị cận nặng nên có sửa nhỡ sai khổ các bạn )

 

[pe_lun_hp]

|. Bài cuối.

Đặt : $\left\{\begin{matrix}x^3 = \dfrac{a}{b}\\ y^3 = \dfrac{b}{c}\\ z^3 = \dfrac{c}{a} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 - xyz = 0$

$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)=0$

$\Rightarrow\left[\begin{matrix}x+y+z = 0 \ \ \ \ (1)\\x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx=0 \ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.$

$(1) \Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}=0$

Nhân 2 vế lần lượt với $a\sqrt[3]{b^2c}\ \ \text{và} \ \ b\sqrt[3]{ac^2}$. Ta được:


$\left\{\begin{matrix}a\sqrt[3]{abc} + ab + \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 0 \ \ \ \ (3)\\ \sqrt[3]{a^2b^2c^2} + b\sqrt[3]{abc} + bc = 0 \ \ \ \ (4)\end{matrix}\right.$

$(3)-(4) : (a-b)\sqrt[3]{abc} =b(c-a)$

Nếu :

$a=b \Rightarrow a=b=c \Rightarrow x=y=z =1 \ \ (\text{loại vì x+y+z=0})$

$\Rightarrow a \neq b \Rightarrow abc=\left(\dfrac{b(c-a)}{a-b} \right)^3$ là lập phương số nguyên (vì a,b,c nguyên)

$(2) \Rightarrow (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0 \Leftrightarrow x=y=z \Rightarrow a=b=c$

Vậy abc là lập phương của số nguyên.

 

[pe_lun_hp]

Bài 6: Bài nầy rế mà

$\dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{c^2} + \dfrac{c}{a^2} = \dfrac{b^2}{a} +\dfrac{c^2}{b} +\dfrac{a^2}{c}$

$\Rightarrow a^3c^2 + b^3a^2 + c^3b^2 = b^3c + c^3a + a^3b$

$\Leftrightarrow (a^2b^2c^2 - a^3c^2) - (b^3a^2 - a^3b) - (c^3b^2 - c^3a) + (b^3c - abc)=0$

$\Leftrightarrow (b^2-a)[(a^2c^2 - ba^2) - (c^3 - bc)] = 0$

$\Leftrightarrow (b^2 - a)(c^2 - b)(a^2 -c) = 0$

$\Rightarrow b^2 = a \vee c^2 = b \vee a^2=c$

$\Rightarrow$ đpcm)

 

[eye_smile]

3. Có: $a+b+c=0$
$ \to \left\{ \begin{array}{l}
a + b = - c \\
b + c = - a \\
c + a = - b \\
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + 2ab = {c^2} \\
{b^2} + {c^2} + 2bc = {a^2} \\
{c^2} + {a^2} + 2ca = {b^2} \\
\end{array} \right.$
$ \to A = \dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}$
$ = \dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} - \left( {{b^2} + {c^2} + 2bc} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} - \left( {{c^2} + {a^2} + 2ca} \right)}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)}}$
$ = \dfrac{{ - 1}}{{2bc}} + \dfrac{{ - 1}}{{2ca}} + \dfrac{{ - 1}}{{2ab}} = \dfrac{{ - \left( {a + b + c} \right)}}{{2abc}} = 0$