chuyên đề chứng minh: bất đẳng thức

[hello22]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

các bạn ơi cố gắng giúp mình bài này với nhá
tớ cảm ơn các cậu nhiều:

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
A) (x+y)(x^3 + y^3)(x^7 + y^7)\leq 4(x^11 + y^11)
b) a^3 + b^3 + c^3 \geq (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)
c) (a^8 +b^8+c^8)/ (abc)^3 \geq 1/a + 1/b +1/c
d)a^3b/c + b^3c/a + c^3a/b + a^3c/b + b^3a/c + c^3b/a \geq 6abc
e) 3/ab + 3/bc + 3/ac \geq 4(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c)^2
f)cho 0< a,b,c và abc =1 Cm:
1/(a^3 +b^3 +1) + 1/(c^3 +b^3 +1) +1/(a^3+ c^3+1) \leq 1
g) cho 0 \leq x,y,z \leq 1.CM:
0 \leq x+y+z - xy -yz-xz \leq 1

 

[tell_me_goobye]

mình viết lại nè

[TEX]A) (x+y)(x^3 + y^3)(x^7 + y^7) 4(x^11 + y^11)[/TEX]
[TEX]b) a^3 + b^3 + c^3 (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)[/TEX]
[TEX]c) \frac{a^3b}{c} + \frac{b^3c}{a} + \frac{c^3a}{b} + \frac{a^c}{b} + \frac{b^3a}{c} + \frac{c^3b}{a} 6abc[/TEX]
[TEX]d) \frac{3}{ab} + \frac{3}{bc}+\frac{3}{ac} 4(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b +c}+\frac{1}{a+c})^2[/TEX]
[TEX]e) 0< a,b,c ., abc=1[/TEX]
cm
[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+1} + \frac{1}{c^3+b^3+1} +\frac{1}{a^3+c^3+1} 1[/TEX]

 

[0915549009]

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
[TEX]a) (x+y)(x^3 + y^3)(x^7 + y^7)\leq 4(x^{11} + y^{11})[/TEX]

[TEX]b) a^3 + b^3 + c^3 \geq (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)[/TEX]

[TEX]c) \frac{a^3b}{c} + \frac{b^3c}{a} + \frac{c^3a}{b} + \frac{a^3}{b} + \frac{b^3a}{c} + \frac{c^3b}{a} \geq 6abc[/TEX]

[TEX]d) \frac{3}{ab} + \frac{3}{bc}+\frac{3}{ac} \geq 4(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b +c}+\frac{1}{a+c})^2[/TEX]

e)cho 0< a,b,c và abc=1 Cm:
[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+1} + \frac{1}{c^3+b^3+1} +\frac{1}{a^3+c^3+1} \leq 1[/TEX]

Chính xác là thế này
đề câu b) sai, phải là:
[TEX] 3(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)[/TEX]

 

[hello22]

các bạn ơi giúp mình đi
ai làm được bài nào thì giúp mình bài đấy với

 

[0915549009]

[TEX]c) \frac{a^3b}{c} + \frac{b^3c}{a} + \frac{c^3a}{b} + \frac{a^c}{b} + \frac{b^3a}{c} + \frac{c^3b}{a} \geq 6abc[/TEX]
đề câu b) sai, phải là:
[TEX] 3(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)[/TEX]

c) Nếu a, b, c > 0 thỳ mình làm đc:
[TEX]c) \frac{a^3b}{c} + \frac{b^3c}{a} + \frac{c^3a}{b} + \frac{a^3c}{b} + \frac{b^3a}{c} + \frac{c^3b}{a} \geq 6abc\Leftrightarrow\frac{a^3b}{c} + \frac{b^3c}{a} + \frac{c^3a}{b} + \frac{a^3c}{b} + \frac{b^3a}{c} + \frac{c^3b}{a} \geq 6\sqrt[6]{\frac{a^3b}{c} . \frac{b^3c}{a}. \frac{c^3a}{b}.\frac{a^3c}{b}.\frac{b^3a}{c} .\frac{c^3b}{a} } = 6abc \Rightarrow dpcm[/TEX]
b) Theo đề mình sửa lại thỳ chỉ cần giả sử a \geq b \geq c, từ đó khai triển biến đổi là ok thôi

 

[0915549009]

e)cho 0< a,b,c và abc=1 Cm:
[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+1} + \frac{1}{c^3+b^3+1} +\frac{1}{a^3+c^3+1} \leq 1[/TEX]

Chém thêm 1 bài nữa
Ta có:
[TEX]a^3+b^3\geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+1} + \frac{1}{c^3+b^3+1} +\frac{1}{a^3+c^3+1} \leq \frac{1}{ab(a+b)+1} + \frac{1}{cb(c+b)+1} +\frac{1}{ac(a+c)+1} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{ab(a+b+c)} + \frac{1}{bc(a+b+c)} +\frac{1}{ca(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)} = 1 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[vuanoidoi]

[TEX]d) \frac{3}{ab} + \frac{3}{bc}+\frac{3}{ac} \geq 4(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b +c}+\frac{1}{a+c})^2[/TEX]

[tex] x+y \geq 2\sqrt{xy} ; z+y \geq 2\sqrt{zy} ; x+z \geq 2\sqrt{xz}[/tex]
[tex]=>4(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})^2 \leq4(\frac{1}{ 2\sqrt{xy}} + \frac{1}{ 2\sqrt{zy}}+\frac{1}{ 2\sqrt{xz}})^2 =(\frac{1}{ \sqrt{xy}} + \frac{1}{ \sqrt{zy}}+\frac{1}{ \sqrt{xz}})^2 [/TEX]
ta chỉ cần c\m: [tex]\frac{3}{xy} + \frac{3}{yz}+\frac{3}{zx} \geq (\frac{1}{ \sqrt{xy}} + \frac{1}{ \sqrt{zy}}+\frac{1}{ \sqrt{xz}})^2 [/TEX]
thực chất:[tex]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2[/tex]

 

[0915549009]

[tex] x+y \geq 2\sqrt{xy} ; z+y \geq 2\sqrt{zy} ; x+z \geq 2\sqrt{xz}[/tex]
[tex]=>[SIZE=4]4(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b +c}+\frac{1}{a+c})^2 \leq4(\frac{1}{ 2\sqrt{xy}} + \frac{1}{ 2\sqrt{zy}}+\frac{1}{ 2\sqrt{xz}})^2 =(\frac{1}{ \sqrt{xy}} + \frac{1}{ \sqrt{zy}}+\frac{1}{ \sqrt{xz}})^2 [/SIZE][/tex]
ta chỉ cần c\m: [tex]\frac{3}{ab} + \frac{3}{bc}+\frac{3}{ac} \geq=(\frac{1}{ \sqrt{xy}} + \frac{1}{ \sqrt{zy}}+\frac{1}{ \sqrt{xz}})^2 [/tex]
thực chất:[tex]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2[/tex]

anh viết gì em chẳng hiểu...........................

 

[dung_ns]

minh thu chem cau g nha

các bạn ơi cố gắng giúp mình bài này với nhá
tớ cảm ơn các cậu nhiều:

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
A) (x+y)(x^3 + y^3)(x^7 + y^7)\leq 4(x^11 + y^11)
b) a^3 + b^3 + c^3 \geq (a+b+c)(a^2 + b^2+ c^2)
c) (a^8 +b^8+c^8)/ (abc)^3 \geq 1/a + 1/b +1/c
d)a^3b/c + b^3c/a + c^3a/b + a^3c/b + b^3a/c + c^3b/a \geq 6abc
e) 3/ab + 3/bc + 3/ac \geq 4(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c)^2
f)cho 0< a,b,c và abc =1 Cm:
1/(a^3 +b^3 +1) + 1/(c^3 +b^3 +1) +1/(a^3+ c^3+1) \leq 1
g) cho 0 \leq x,y,z \leq 1.CM:
0 \leq x+y+z - xy -yz-xz \leq 1

Vì 0\leqx,y,z\leq1 nên ta co x(1-y)\geq0,y(1-z)\geq0,z(1-x)\geq0
Cộng ba bdt lai ta có
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)\geq0
\Leftrightarrowx+y+z-xy-yz-zx\geq0
ta lai co
(1-x)(1-y)(1-z)\geq0\Leftrightarrow1-(x+y+z)+xy+yz+zx-xyz\geq0(*)
ma x,y,z không âm nên xyz\geq0(*)(*)
Công (*) và (*)(*) ta có
1-(x+y+z)+xy+yz+zx\geq0
\Leftrightarrowx+y+z-xy-yz-zx\leq1
dpcm

 

[headshot123456]

Câu [TEX]a^8 +b^8 +c^8[/TEX] áp dụng nhiều lần cái [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX] là ra.

 

[hello22]

này bạn 0915549009 ơi
nếu mình sửa thành như cậu bảo thì cậu thử cm giùm tớ xem sao nhe'
câu d các bạn giải mình ko hjủ

 

[0915549009]

[TEX]3(a^3+b^3+c^3)\geq(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Câu d) dùng BĐT Cauchy đó, bạn ak`..............
Giả sử [TEX]a\geq b\geq c[/TEX]
[TEX]3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+ab^2+ac^2+ba^2+b^3+bc^2+ca^2+b^2c+c^3 \Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq ab^2+ac^2+ba^2+ bc^2+ca^2+b^2c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2(a-c)+a^2(a-b)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a^2-c^2)(a-c)+(a^2-b^2)(a-b)+(b^2-c^2)(b-c)\geq 0 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[hello22]

này bạn headshot123456 ơi giải chi tiết giùm câu đó đi
áp dụng bất đẳng thưc phụ ntn
minh ko hiểu

 

[hello22]

các bạn ơi giúp mình bài này nữa nè
mình cần gấp lắm

a) (x+y)(x3+y3)(x7+y7) ≤ 4(x11 + y11)
b) a8b8/(abc)3 ≥ 1/a + 1/b + 1/c
c) Cho 0 ≤ x,y,z ≤ 1 .CM:
x/ (yz +1) + y/(xz+1) + z/(yx+1) ≤ 2
d) CMR: với mọi x,y > √2 , ta có:
x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 ≥ x2y2