Toán chuyên đề chia hết

[Aya shameimaru]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các tiền bối đề nghị giúp với ạ !
CHỨNG MINH
1) a^(n+5) - a^(n+1) chia hết cho 30 với mọi n thuộc N, a thuộc Z
2) a^5 + 59a chia hết cho 30
3) a^5 - 91a chia hết cho 30

 

[Ray Kevin]

Các tiền bối đề nghị giúp với ạ !
CHỨNG MINH
1) a^(n+5) - a^(n+1) chia hết cho 30 với mọi n thuộc N, a thuộc Z
2) a^5 + 59a chia hết cho 30
3) a^5 - 91a chia hết cho 30

Trước tiên ta đi CM : [TEX]a^5-a \ \vdots \ 30 \ (\forall a \in \mathbb{Z})[/TEX]
Ta có: [TEX]a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1) [/TEX] luôn chia hết cho 6
Lại có: [TEX]a(a-1)(a+1)(a^2+1)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5a(a-1)(a+1) [/TEX] luôn chia hết cho 5
Vì vậy [TEX]a^5-a \ \vdots \ 30 \ (\forall a \in \mathbb{Z})[/TEX] (vì 5 và 6 nguyên tố cùng nhau)
1) [TEX]a^{n+5} -a^{n+1}=a^n(a^5-a) \ \vdots \ 30[/TEX]
2) [TEX]a^n+59a=(a^n-a)+60a \ \vdots \ 30[/TEX]
3) [TEX]a^5-91a=(a^n-a)-90a \ \vdots \ 30[/TEX]

 

[Aya shameimaru]

2) [TEX]a^n+59a=(a^n-a)+60a \ \vdots \ 30[/TEX]
giải thích rõ hơn đi

 

[Ray Kevin]

2) [TEX]a^n+59a=(a^n-a)+60a \ \vdots \ 30[/TEX]
giải thích rõ hơn đi

Cái trong ngoặc chia hết cho 30 đã CM, 60a cũng chia hết cho 30 nên tổng đó chia hết cho 30 ^^