chuyen đề BDT (khó quá)

H

hg201tc

làm hộ

câu 2: a,b,c > 0 và a+b+c = 3
CMR : [TEX]\sqrt{a^2+ 2bc + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{b^2+ 2ac + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{c^2+ 2ab + 1}[/TEX] \leq 6
làm câu này
Áp dụng bunhia cho 3 cặp số
[TEX] (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2[/TEX]
[TEX](\sqrt{a^2+ 2bc + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{b^2+ 2ac + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{c^2+ 2ab + 1})^2[/TEX] \leq [TEX](1+1+1)((a+b+c)^2+3)=36[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt{a^2+ 2bc + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{b^2+ 2ac + 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{c^2+ 2ab + 1}[/TEX] \leq 6 (đpcm)
tự tìm dấu = nhá
 
N

nguyenhuuquoc

tuananh_k33a1 said:
câu 2 : cho a,b,c > 0 và abc = 1
CMR : [TEX]\frac{1}{a+b+1}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{c+b+1}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{a+c+1}[/TEX] \leq 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Đặt x[TEX]=\sqrt[3]{a}[/TEX] ;[TEX]y=\sqrt[3]{b}[/TEX] ;[TEX]z=\sqrt[3]{c}.[/TEX]
Ta có:[TEX]x,y,z>0 [/TEX]và [TEX]xyz=1.[/TEX]
Đặt M=VT.
[TEX]M=\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}.[/TEX]
Để ý rằng: [TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1+x^3+y^3=xyz+x^3+y^3\geq xy(x+y+z)=\frac{x+y+z}{z}.[/TEX]
do đó[TEX] \frac{1}{1+x^3+y^3}\leq \frac{z}{x+y+z}.[/TEX]
[TEX]M\leq \sum \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1.[/TEX]
BDT được chứng minh.
 
L

langtuphantom

nguyenhuuquoc said:
Đặt x[TEX]=\sqrt[3]{a}[/TEX] ;[TEX]y=\sqrt[3]{b}[/TEX] ;[TEX]z=\sqrt[3]{c}.[/TEX]
Ta có:[TEX]x,y,z>0 [/TEX]và [TEX]xyz=1.[/TEX]
Đặt M=VT.
[TEX]M=\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}.[/TEX]
Để ý rằng: [TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1+x^3+y^3=xyz+x^3+y^3\geq xy(x+y+z)=\frac{x+y+z}{z}.[/TEX]
do đó[TEX] \frac{1}{1+x^3+y^3}\leq \frac{z}{x+y+z}.[/TEX]
[TEX]M\leq \sum \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1.[/TEX]
BDT được chứng minh.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Làm sao chứng minh được cái này : [TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/TEX] . CM cái coi, xem có đúng ko ? :-\"
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom