Chuyên đề bất đẳng thức

[hocattuong2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh bất đẳng thức
a) a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca
b) a^2+b^2+1 \geq ab+a+b
c) a^2+b^2+c^2 \geq a.(b+c)
d) a^2+b^2+c^2+d^2 \geq a.( b+c+d )
e) a^2+b^2+c^2+d^2 \geq (a+b).(c+d)
f) a^4+b^4+2 \geq 4ab
g) a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 4abcd
P/s: Các bạn giúp mình nha, mình đang cần gấp. Tks nhìu

 

[manhnguyen0164]

a) Biến đổi tương đương ta có:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$

$\iff 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$ hiển nhiên đúng.

 

[manhnguyen0164]

g) Nhận xét: $x^2+y^2\ge2xy$

Ta có: $a^4+b^4\ge 2a^2b^2$

$c^4+d^4\ge 2c^2d^2$

Suy ra $a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2[(ab)^2+(cd)^2]$

$\ge 2.2abcd=4abcd$ (đpcm)

 

[vipboycodon]

b) $a^2+b^2+1 \ge ab+a+b$
<=> $a^2+b^2+1-ab-a-b \ge 0$
<=> $2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2 \ge 0$
<=> $a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 \ge 0$
<=> $(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1$

c) a$^2+b^2+c^2 \ge a(b+c)$
<=> $a^2+b^2+c^2-ab-ac \ge 0$
<=> $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac \ge 0$
<=> $a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2+c^2 \ge 0$
<=> $(a-b)^2+(a-c)^2+b^2+c^2 \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 0$

 

[manhnguyen0164]

f) Xét hiệu: $a^4+b^4+2-4ab$

$=a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2-4ab+2$

$=(a^2-b^2)^2+2(ab-1)^2\ge 0$ (đpcm)

 

[huynhbachkhoa23]

(f) $a^4+b^4+1+1 \ge 4ab$

 

[manhnguyen0164]

d) Biến đổi tương đương, ta có: $a^2+b^2+c^2+d^2\ge a.( b+c+d)$

$\iff a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad$

$\iff a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad\ge0$

$\iff 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2-4ab-4ac-4ad\ge0$

$\iff (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+a^2\ge0$

 

[eye_smile]

e,

$a^2+c^2 \ge 2ac$

$a^2+d^2 \ge 2ad$

$b^2+c^2 \ge 2bc$

$b^2+d^2 \ge 2bd$

Cộng theo vế \Rightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2 \ge ac+ad+bc+bd=(c+d)(a+b)$

 

[minhhieupy2000]

4/ $a^4+b^4+1+1\ge 4\sqrt{x^4.y^4.1.1} = 4|xy| \ge 4xy $