Chuyên đề bất đẳng thức

[monkeydluffypace]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1,
a, a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca
b,a^4+b^4+c^4+d^4\geq4abcd
B2,
a, a^4+b^4+c^4\geqabc(a+b+c)
b,a^8+b^8+c^8\geqa^2b^2c^2(ab+bc+cd)
help..................b-(

 

[vipboycodon]

1,a) [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]
Áp dụng bđt cô-si cho 3 số a,b,c ta có:
[TEX]a^2+b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2}=2ab[/TEX]
[TEX]a^2+c^2 \geq 2\sqrt{a^2c^2}=2ac[/TEX]
[TEX]b^2+c^2 \geq 2\sqrt{b^2c^2}=2bc[/TEX]
Cộng vế với vế ta có:
[TEX]2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+ac+bc)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc[/TEX](đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi ab=ac=bc
mấy bài kia chắc cũng gần giống bài này

 

[lynkpine]

b. Cho 4 số a,b,c,d dương
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 4 số
=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 4 căn 4 ( a^4.b^4.c^4.d^4 )
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 4abcd

 

[lynkpine]

c. Áp dụng bất đẳng thức cosi

a^4 + b^4 ≥ 2a²b²
b^4 + c^4 ≥ 2b²c²
a^4 + c^4 ≥ 2a²c²

=> a^4 + b^4 + c^4 ≥ a²b² + b²c² + a²c² (1)

a²b² + b²c² ≥ 2ab²c (a,c > 0)
b²c² + a²c² ≥ 2abc² (a,b > 0)
a²b² + a²c² ≥ 2a²bc (b,c > 0)

=> a²b² + b²c² + a²c² ≥ ab²c+ abc² + a²bc = abc(a + c+ b) (2)

(1)(2) => đpcm

 

[thaolovely1412]

Bài 1
b)Ta co[TEX] a^4,b^4,c^4,d^4 \geq 0[/TEX]
Theo bat dang thuc Côsi cho 4 so duong ta co:
[TEX]\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4} \geq \sqrt[4]{a^4*b^4*c^4*d^4}[/TEX]
[TEX]<=>a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4.\sqrt[4]{a^4*b^4*c^4*d^4}[/TEX]
[TEX]<=>a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4.(abcd)[/TEX]
[TEX]<=>a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd[/TEX]
[TEX]a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd[/TEX] khi a=b=c=d
Bài 2)
a)Áp dụng Cauchy cho từng cặp ta có
a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------…
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------…
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) ta có điều fài chứng minh.
_____________________________________
Nguồn: yahoo