Chuyên đề bất đẳng thức

[vngocvien97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài1:Cho a,b,c là các số thực bất kì.Chứng minh rằng
[TEX](a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (ab+bc+ca-1)^2.[/TEX]
Bài 2:Cho a,b,c>1 và[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2[/TEX]Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[]{a-1}+\sqrt[]{b-1}+\sqrt[]{c-1}\leq \sqrt[]{a+b+c}[/TEX]
Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn
[TEX]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1[/TEX]Chứng minh rằng a+b+c\geq ab+bc+ca.=((

 

[linhhuyenvuong]

2,
[TEX]a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}; c=\frac{1}{z}[/TEX] \Rightarrowa+b+c=2

BDT \Leftrightarrow[TEX]\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geq \sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{\frac{1}{2}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}) \geq \sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}-a}{a}}+\sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}-b}{b}}+\sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}-c}{c}} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}) \geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{b+a-c}{c}} (1)[/TEX]

Cauchy-Schwarz:
[TEX]\sqrt{[(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})} \geq\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{b+a-c}{c}} [/TEX]

\Rightarrow[TEX](1) dung[/TEX]

3,

 

[minhtuyb]

Xét tích:
[TEX](a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2+1+a^2+b^2=(a^2b^2-2ab+1)+(a^2+2ab+b^2)=(ab-1)^2+(a+b)^2[/TEX]
-Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
[TEX]VT=[(ab-1)^2+(a+b)^2][1^2+c^2]\geq (ab-1+ac+ab)^2=VP<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]ab-1=\frac{a+b}{c}[/TEX]